分形晶格上量子自旋系统相变问题的分析

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1、Ab虬ractKeywords：phasetrallsition，phasediagram，quantumspinmodel，diamond-typehierarchicallattice，renomlalizationgrouprIl第一章前言§1．1相变理论简介§1．1．1相变研究的历史相变是自然界中广泛存在的一类突变现象。相变的产生与系统中的涨落有着密切的联系。涨落有热涨落(由温度变化引起的)和量子涨落两种。对于一个系统，这两种涨落会同时存在，但是它们的强弱程度会因外界条件而有所不同，从而对相变产生不同的影响。根据涨落对相变的影响，

2、可以把根变分为经典相变与量子相变两大类。如果系统所处的环境温度比较高，此时热涨落比较强，它会掩盖量子涨落在相变中的作用，而对相变产生重要的影响。热涨落使系统的热力学函数在相交点附近具有奇异性，此时发生的相交就是经典相变；如果系统所处的环境温度比较低(接近O目，量子效应占主导地位，量子涨落使热力学函数在相变点附近产生奇异性，从而诱发量子相变[1．3】。按照热力学函数及其导数的连续性，可以把相交分为不同的级。如果在相变点，热力学函数本身连续但是其一阶导数不连续，则称为一级相变；如果热力学函数的一级导数连续，而二级导数不连续，就是二级相变。以此

3、类推，可以定义三级和三级以上的相变。人们对经典相变理论的研究已经经历了很长的时间，大致可以分为三个阶段。从1896年，tAndrews提出了临界点的概念，标志着相变研究的开始，到1934年L．D．Landau提出了二级相变理论，是相变理论发展的第一阶段。其间，Pierreweiss提出了顺磁一铁磁相变的分子场理论(又称平均场理论)。Bm鲳和willi咖s提出了长程序的概念。这些研究，包括v{mDerwaals讨论的气一液相变和Maxwell提出的等面积法则等，虽然具体的形式不尽相同，但是总体上都属于平均场理论(4】。1944年，L．Ons

4、ager关于二维Ising模型的严格解标志着相变理论的研究进入了第二阶段。L．Onsager的工作第一次证明了，在热力学极限下，从体系的没有奇异性的哈密顿量出发，能导致熟力学函数在临界点附近的奇第一章前言异性，向第一阶段的相变理论提出了严峻的挑战【5]。在20世纪50年代，由李政道和杨振宁提出的相变理论(又称为李一杨定理)揭示了相变问题的本质，给出了相变产生的机制，从而使人们对于此问题的认识达到了一个新的境界。20世纪60年代，widom的标度理论促使相变理论研究进入第三阶段。1945年，Widom提出了标度假设，并在总结实验事实的基础上

5、于1965年提出了标度理论。1966年，L．P．K丑d锄off提出了标度变换的概念，他还直接分析了关联长度和关联函数在标度变换下的形式，并推导出了临界指数之间的关系一标度律。这有力地支持了标度理论，同时为重正化群理论奠定了基础。1971年，K．Gwilson把量子场论中的重正化概念应用到相交理论中并运用标度律和普适性的概念，建立了临界现象的重正化群理论，使相变理论取得了突破性的进展[6】。随着低温实验技术的发展和量子统计理论研究的深入，基于经典相变理论，人们还发展了量子相变理论【1，2】。从量子统计物理学发展的前期，量子效应对多体临界行为

6、的影响就引起了人们浓厚的兴趣。但是连续量子相变理论(又称量子临界现象)是在实空间重正化群方法(简称RG)应用到统计物理以后才有了实质性的进展【3】。人们对量子临界现象的理论研究可以分为两个阶段：第一阶段是从20世纪70年代，RG理论引入统计物理学开始到1986年，这一阶段主要是基于量子场论，RG变换方法的一些基础性研究。1986年至今，随着人们对重费米子系统，高温超导系统，量子霍尔效应等的研究，逐渐形成了量子相交理论【1】。量子相变理论的主要任务是预言和描述相变点附近量子效应对热力学函数和关联性质的影响。目前，量子相变已经成为统计物理学的

7、一个重要的分支。可以看出，RG理论对相交理论的发展起了重要的推动作用。下面我们烙结合标度变换对其作以简单的介绍。§1．1．2标度变换和重正化群理论标度变换简单地说就是尺度变换。我们知道，发生连续相变时，系统内部会出现各种尺度的涨落，涨落的范围用关联长度来描述。在临界点附2第一章前言近，关联长度趋于无穷大，它对所有的临界现象产生本质的影响。此时，表征体系特征的有限大小的特征长度，比如相互作用的范围、晶格常数和有限体积效应等，相对于关联长度而言，都已经变的不重要了，唯一有意义的特征长度是关联长度。LpKadanofr抓住系统在临界点附近关联长

8、度趋于无穷大这一特征，提出了标度变换的概念。由于标度变换只是宏观尺度的变换，标度理论只是一种唯象的理论。它可以用来建立各临界指数之间的关系一标度律。人们已经建立的铁磁系统的各临界指数的关系式有