分形晶格上S_274_自旋系统相变问题的分析

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1、AbstractfixedpointandaGa_ussian丘xedpoim．ForthecaseofGaussiandistributionconstallt6=0，thereonlyexistsaGaussianfixedpoint，Keywords：phasetransition，criticalexponem，S4model，f-ractal，reno加alizationgrouplII第一章综述§1．1相变与临界现象1．1．1相变简介相变与临界现象是统计物理学的一个重要分支，它广泛地存在于自然界中。根据热力学理论，把相变划分

2、为～级相变和二级相变等类别，二级相交的相交点称为临界点。在临界点附近，系统的某些热力学量趋向于无穷，系统内部有很强的涨落和关联，这些现象称为临界现象。人们对相变的认识大致分为三个阶段。1869年，Andrews提出了临界点的概念标志着人们研究相变理论的开始。1937年苏联物理学家Lalldau提出了平均场理论【1】，该理论成功的预言了I临界点的存在。但是，随着对相变与临界现象研究的不断深入和实验技术的逐渐提商，人们发现临界行为和朗道理论的预言相差甚远，朗道的平均场理论遇到了挑战。0nsager在1944年求得了二维Is址g模型的严格解【

3、21，这标志着相变理论的研究进入了第二阶段。他的工作证明：哈密顿量连续的系统仍然能导致热力学函数在临界点附近的奇异性行为。随后，由杨振宁和李政道提出的相变理论揭示了相变问题的本质，提出了相变产生的机制，从而使人们对相变问题的认识达到了一个新的深度。1965年，widom理论的提出标志着相变理论的研究进入了第三阶段。1971年，wilson把量子场论中的重整化概念应用到相交理论中，并运用标度律和普适性概念，建立了一整套研究相变与临界现象强有力的理论体系一重整化群理论【3．4】。该理论在保持重整化变换前后系统配分函数保持不变的前提下，求出系

4、统的临界点和临界指数。事实证明重整化群理论的提出使相变理论的研究取得了突破性的进展。1．1．2标度变换和普适性标度变换形象地说就是尺度变换。发生连续相变时，系统内部出现各种尺度的涨落，这种涨落用关联长度来描述。在临界点附近，关联长度趋向于第一章综述合金的有序一无序相变等。其一维和二维问题的严格解己分别由igi

5、

6、!堡玳违!目程i引甜。兰飘繇狮iii善i蜒霞引F抵凳糖曩嵝篙雹登。罐堪耋挺翼蒿型冀≤萋y嚣薹霉髦矽毫霉要点臻馨氆薄：蠹辩囊孙娑堇￡㈦夏曩裂弱专薄i*蔓裂二鞫黟参裁笃i醅螽熨÷^强oz“疆秀曦降州噬1臻?}!嘲艉壤摊通m忻哮。鋈錾

7、零萋^军彦渗m陲；·堰哥。阳罐礁摊耍琊j互作用参数，K：='，：／(％r)为约化的三最近邻格点相互作用参数，&=日，(kr)为约化磁场，其中t，。(f-1，2)为交换积分，％为Bolt珊锄常数，丁为热力学温度，<扩>表示二最近邻格点，<弘>表示三最近邻格点。系统相应的配分函数为z=∑e印(_朋)．(2．2)扣’§2．3重整化群变换过程为简单起见，这里取一个生成元进行RG变换，如图2．2所示，各格点上的自旋分l12图2．2SierpjnSkj镂垫上生成元的重接化群过程其中l，2和3表示生成元的外部格点，4，5和6表示内部格点3别以q，cr

8、2，cr3，cr4，cr5，吼来表示，令矗=岛，根据(2．1)该生成元的有效哈密顿量为一口=墨∑q乃+K2hcr4cr6+cr2九码+吒％％)U棚矿，6(2．3)+等∑q+如∑q，-j-lf{4考虑到自旋q，盯：，cr3中的每一个都处在两个生成元中，而RG变换是对整个系统的有效哈密顿量进行的，所以我们在(2．3)式的第三个求和中的吼，盯。，％项的前面乘E了因子1，2．10第一章综述Sierpinsld镂垫将一个等边三角形的三边中点用直线连接起来，形成4个边长为原来边长一半的小等边三角形，将中间一个倒三角形挖去，对剩余的三个小等边三角形再

9、实施与前面相同的操作，不断重复下去，便得到Sierpinski镂垫。如图1．2所示。▲A△△行=O刀=1，，=2，，=3图1．2sierpinsl【i镂垫的迭代过程钻石型等级晶格这种品格也是由迭代过程生成，其基元(构造过程中的第玎=Q级)是一个由两点和一键组成的晶格，然后四个这样的基元组成一个生成元(，，=l级)，这个生成元的每一个键再被生成元本身来代替。这样的过程重复进行无穷多次，最后得到的晶格称为钻石型等级品格。如图1．3所示。玎=On=1图1，3钻石型等级晶格的生成过程选取不同的生成元可以得到不同类型的钻石型等级晶格。图1．4给出

10、了两种不同生成元的示意图。◇眦第一章综述上世纪八十年代，Gefen等人首先研究了Koch曲线、sierpinski地毯等分形晶格上自旋模型的相变问题【13．16】，并且得出结论：分形上的自旋系统能否发生有限