高考数学复习第六章不等式、推理与证明课下层级训练34合情推理与演绎推理文新人教a版

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1、课下层级训练(三十四)　合情推理与演绎推理[A级　基础强化训练]1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了(　　)A．分析法　　　　　　　B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法B　[结合推理及分析法和综合法的定义可知，B正确．]2．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α

2、＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数是(　　)A．0　　　B．1　　　C．2　　　　D．3B　[(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sinαsinβ不恒成立，如α＝30°，β＝60°，sin90°＝1，sin30°·sin60°＝，故②错误．由向量的运算公式知③正确．]3．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝

3、x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的(　　)A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确A　[若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．]4．对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2014次操作后得到的数是(　　)A．25B．250C．55D．133D　[由题意知，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋0

4、3＝133，第5次操作为13＋33＋33＝55，….因为每次操作后的得数呈周期排列，且周期为3，又2014＝671×3＋1，故第2014次操作后得到的数是133.]5．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(　　)A．dn＝B．dn＝C．dn＝D．dn＝D　[若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n

5、－1)＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列．]6．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照图中的规律，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为__________.6n＋2　[由题意知，第1个图中有8根火柴棒，第2个图中有8＋6根火柴棒，第3个图中有8＋2×6根火柴棒，……，依此类推，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为8＋6(n－1)＝6n＋2.]7．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝__________.nn　[第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝

6、1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.]8．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为__________.A　[由甲、乙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或B城市，结合丙的回答可得乙去过A城市．]9．在锐角三角形ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC．证明　∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＞

7、，∴A＞－B，∵y＝sinx在上是增函数，∴sinA＞sin＝cosB，同理可得sinB＞cosC，sinC＞cosA，∴sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC．10．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．(1)证明　∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB．∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2si

8、n(A＋C)．(2)解　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.由余弦定理得cosB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立．∴cosB的最小值为.[B级　能力提升训练]11．(2018·宁夏银川期末