三角形的“四心”与平面向量

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1、三角形的“四心”与平面向量利津一中路雪梅向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合.三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：①设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心;②设，则向量必平分∠BAC的邻补角③设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△

2、ABC的垂心④△ABC中一定过的中点，通过△ABC的重心⑤点是△ABC的外心⑥点是△ABC的重心⑦点是△ABC的垂心⑧点是△ABC的内心(其中a、b、c为△ABC三边)⑨△ABC的外心、重心、垂心共线，即∥⑩设为△ABC所在平面内任意一点，G为△ABC的重心，，I为△ABC的内心，则有并且重心G（，）内心I（，）(一)．将平面向量与三角形内心结合考查AFECTB例1：（2003年全国高考题）是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析:如图设都是单位向量易知四边形AETF是菱形故选答案B(二)将平

3、面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2：（1）：（2005年北京市东城区高三模拟题）为△ABC所在平面内一点，如果，则O必为△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：OB⊥CA故选答案D（2）：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足，则点O是三角形ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上由条件可推出故选答案D(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例3：若为内一点，，则是的（    ）A．内心          B．外心       C．垂心         D．重心解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知

4、，，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。(四)．将平面向量与三角形外心结合考查例4：若为内一点，，则是的（    ）A．内心          B．外心       C．垂心         D．重心解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心 ，选B。补充练习1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=(++2),则点P一定为三角形ABC的（）A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点2．在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式：＋＝＋＝＋，则Ｏ为的（   ）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心3．已知△ABC的三个顶点A

5、、B、C及平面内一点P满足：，则P为的（  ）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心4．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的（  ）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：，则P点为三角形的（  ）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心6．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的（   ）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心7．在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过△ABC的：（）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心8.已知非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC为()A.三边均不相等的三角

6、形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形9.的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=ABCMNG图110.如图1，已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，则。补充练习的答案1.取AB边的中点M,则，由=(++2)可得3，∴，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.2.D3.C4.C5.D6.B7.B8.解析：非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又=，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D9.110.证点G是的重心，知O，得O，有。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），于是

7、存在，使得，有=，得，于是得。