平面向量与三角形“四心”的应用问题

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1、平面向量与三角形“四心”的应用问题湖南省箴言中学刘光明三角形的外心，内心，重心及垂心，在高考中的考查是比较棘手的问题，先课程教材中所加的内容，更加引起我们的重视，尤其与平面向量结合在一起，那就更加难于掌握了。本文拟对与三角形的“四心”相关的平面向量问题加以归纳，供学习时参考．1课本原题例１、已知向量满足条件，，求证：是正三角形．分析　对于本题中的条件，容易想到，点是的外心，而另一个条件表明，点是的重心．故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形．在1951年高考中有一道考题，原

2、题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的．显然，本题中的条件可改为．2高考原题例２、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的（）．A．外心B．内心C．重心D．垂心分析　已知等式即，设，显然都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故为的平分线，选．例３、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=　．4分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观

3、．解法如下，由已知，有向量等式，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有，将已知代入，有，即，由是外心，得，由于是任意三角形，则不恒为０，故只有恒成立．或者，过点作与，则是的中点，有；是垂心，则，故与共线，设，则，又，故可得，有，得．根据已知式子中的部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为，是平面内任一点，均有，由题意，题目显然叙述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图１，由图上观察，很容易猜想到，至少有两个产生猜想的诱因，其一是，均与三角形的边垂直，则；其二，点是三角形的中线的三等分点．此时

4、，会先猜想，但现在缺少一个关键的条件，即，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似．当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明．本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设O、G、H分别是△ABC的外心、重心和垂心，则O、G、H三点共线，且OG∶GH＝1∶2，利用向量表示就是．例４、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（　）．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点4分析　移项后不难得出，，点O是的垂心，选．3推广应用

5、题例５　在内求一点，使最小．分析　如图２，构造向量解决．取为基向量，设，有．于是，．当时，最小，此时，即，则点为的重心．例６　已知为所在平面内一点，满足，则为的　　　心．分析　将，也类似展开代入，已知等式与例４的条件一样．也可移项后，分解因式合并化简，为垂心．例７　已知为的外心，求证：．分析　构造坐标系证明．如图３，以为坐标原点，在轴的正半轴，在轴的上方．，直线的方程是，由于点与点必在直线的同侧，且，因此有，得．直线的方程是，由于点与点必在直线的同侧，且，因此有，得．4于是，容易验证，，又，，，又，则所证成立．4