讲义---平面向量与三角形四心的交汇

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1、讲义---平面向量与三角形四心的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.同理，为的垂心（3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心

2、.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令（)化简得4（4）为的外心。三、典型例题：例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心例3：1)是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心2)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,,则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.

3、垂心C.外心D.内心3)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,,则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心例4、已知向量满足条件，，求证：是正三角形．例5、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=　．4例6、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（　）．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点例7　在内求一点，使最小．例8已知为所在平面内一点，满足，则为的　　　心．例9．.已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则O点是△ABC的(

4、)A.外心B.内心C.重心D.垂心例10已知O为△ABC所在平面内一点，满足=，则O点是△ABC的()A.垂心B.重心C.内心D.外心例11已知O是△ABC所在平面上的一点，若===0，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心例12：已知O是△ABC所在平面上的一点，若=0，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心例13：已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心四、配套练习：1．已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（）A．2B．C．

5、3D．642．若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则()A．B．0C．1D．3．点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（）A．0B．C．D．4．的外接圆的圆心为O，若，则是的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心5．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心6．的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=7．（06陕西）已知非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形8．已知三个顶点，若，则为（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直

6、角三角形D．既非等腰又非直角三角形9.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,.则P点的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心10.已知O是△ABC所在平面上的一点，若=0,则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心11.已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P为平面上任意一点),则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心4