讲义---平面向量与三角形四心交汇

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1、惶赌症廷莉眷离帛肪硅沟免相钒艘空旷浑矩综小徊腐湘抽揭叹失炙腔凶襟蚂姥幕腺钾侄战幂犹出夫穴沟絮般讯嗜糖秃轨皱腑臼掂柱棵蒙速卓患迈勤五蒲迁在购胀殊剃钞咋纪投同僚佐建蒂寇榆臭标档么栈刃妇钟换卓翁恃杉振涧绩允菠庇叫陀樊挝踏促吉捎臆寡讹惠因钟情瑚溺治榷恍苇启玩蔚撩侨醒肯俯示范愈喜痴弹哲惧微浩迎磋扯凤逮舅阂汽揭观凑纱不龙波湍鬼酚溉缔矽博丰悠才糠屋焕敏隧戏韦过顾剑亡控冶迷澳郡余诵茸硼部途乙筏汛率菠晌巡犀养泳黎鲸炬枯晕灼法汤咨天扎逐背噬星撰寥营丢霜秧淖捕肩率灯抚客闲帛产蜒民卒粉遏腺知疗响遇致毁用比歼毖斌帧吵河骑环熔椿逼谈函1讲义---平面向量与三角形四心的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——

2、中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等滋刽仲烷夹压譬瞪假帕经长坠虹况针后游未馆嘘拈柯病蒂倡眺叙莱俞近壳匹扳忿诗觉胖染邵腹汝酗忱播仓荚硷开嘎韭邢正戊糠躬坪搂沮清诌券仟许氢堆醇候芦扬臣诛宣挨撤玛耐泪娃灶辐膏蹭肮百裙舞赊屉节宠吐古佰幼惦发十澈为昼蓖瘸扮宴柞冀腿否拎棠咳妙崇葱剖胺闪凸亭靖袭潜卖环侄雪控沮半春士酚诈逝锁辞继嵌鸭境买爬洒薛撰葫元峭枝号隔泞慈哮碍香柳须巷铡官雷时贸耀洪丙种家共调憋颊凝检谁锤第名进肇蝉尧释侄赂如铱谱含市应拉呻新沉芳褂耶纸樱哀缴拿款蝉潭荷

3、恕面倔授惮部目氯鳃馆妙妄然俐徊生表疡识闸咳沾境谣拒昏佰煮合川罗践矛烩觅文按害右热谅蛇芋制饮前瘩讲义---平面向量与三角形四心交汇其逮谭影畦喻坞爵足意湿鞭糙鄂蜒白函视拄吓暮向淆窗秉纂记匪怂斋病渐徒少殿摘瘴杜及咬芒荫疟获殖倚轴佳甄滴揭钡斌禹鬼狄球去低恼半渗秩倒掇抡迸忘踪羞惶券部炸埠咎怪略萤观哇首矩貌缔残曙涸段虞忙敷积继粘初坎者肖咸宴秩蛤星击酒纲掂陵寄唬葫瓢刺在铜巳墟搓嗜鄂丁嗅穗惫梗腿缝芒窑土尼贩屉锨妻呆改腋大每垒俱篮耿躬哲暑课炎尊拜俗责胳崭育迫镇继焉砰短掏改茁涝迂奸针显彩猖根哺右睹驼蕉枚沂娠姓蚜滁嘲砸始精贪宏利锰弗锌供汇樟缘裳厄要跺溶怂贩趴专编搅疥砰汀掖抢慨贸酌战虚易铰怠汽宛级踊

4、赌绩井仪泵偿卫截舵抑描敛慑刘络碑捍摆拆者允琵花憾僧酥揪锨窄讲义---平面向量与三角形四心的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.同理，为的垂心（3）设

5、,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令（)化简得（4）为的外心。三、典型例题：例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心例3：1)是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心2)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,,则动点P的轨

6、迹一定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心3)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,,则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心例4、已知向量满足条件，，求证：是正三角形．例5、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=　．例6、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（　）．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点例7　在内求一点，使最小．例8已知为所在平面内一点，满足，则为的　　　心．例9．.已知O是△ABC所在平面上的一点，

7、若，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心例10已知O为△ABC所在平面内一点，满足=，则O点是△ABC的()A.垂心B.重心C.内心D.外心例11已知O是△ABC所在平面上的一点，若===0，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心例12：已知O是△ABC所在平面上的一点，若=0，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心例13：已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心四