lecture6一阶逻辑基本概念

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1、在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数量关系。因而命题逻辑具有很大的局限性，甚至无法判断一些简单而常见的推理。考虑下面的推理:所有的人都是要死的；    苏格拉底是人。    所以，苏格拉底是要死的。这个苏格拉底三段论是我们公认的真命题，但是在命题逻辑中却无法判断它的正确性。因为在命题逻辑中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为p，q，r，将推理的形式结构符号化为(p∧q)→r由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确性。个体词，谓词和量词是一阶逻辑命题符号化的三个基本要素。下面讨论这三个要素

2、。个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。例如，小王，小李，中国，，3等都可以作为个体词。将表示具体或特定的客体的个体词称作个体常项，一般用小写英文字母a，b，c…表示；而将表示抽象或泛指的个体词称为个体变项，常用x，y，z…表示。称个体变项的取值范围为个体域(或称论域)。个体域可以是有穷集合，例如，{1，2，3}，{a，b，c，d}，{a，b，c，…，x，y，z}，…；也可以是无穷集合，例如，自然数集合N={0，1，2，…}，实数集合R={x

3、x是实数}…。有一个特殊的个体域，它是由宇宙间一切事物组成的，称它为全总个体域。本书在论述或推理

4、中如没有指明所采用的个体域，都是使用全总个体域。谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。同个体词一样，谓词也有常项和变项之分。表示具体性质或关系的谓词称为谓词常项，表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词称为谓词变项。无论是谓词常项或变项都用大写英文字母F，G，H，…表示，可根据上下文区分。是无理数。是个体常项，“…是无理数”是谓词，记为F，并用F()表示该命题。用P(x1,x2,…,xn)表示含n(n≥1)个命题变项的n元谓词。问：它是不是命题？要想使它成为命题，必须用谓词常项取代P，用个体常项a1,a2,…,an取代x1,x2,…,xn，得P(a1

5、,a2,…,an)是命题。有了个体词和谓词之后，有些命题还是不能准确的符号化，原因是还缺少表示个体常项或变项之间数量关系的词。称表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种:日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，将它们符号化为“”。并用x，y等表示个体域里的所有个体，而用xF(x)，yG(y)等分别表示个体域里所有个体都有性质F和都有性质G。日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，将它们都符号化为“”。并用x，y等表

6、示个体域里有的个体，而用xF(x)，yG(y)等分别表示个体域里存在个体具有性质F和存在个体具有性质G等。例4.2在个体域分别限制为(a)和(b)条件时，将下面两个命题符号化:    (1)凡人都呼吸。(2)有的人用左手写字。其中:(a)个体域D1为人类集合；(b)个体域D2为全总个体域。解(a)令F(x):x呼吸。G(x):x用左手写字。(1)在D1中除了人外，再无别的东西，因而“凡人都呼吸”应符号化为xF(x)               (4.1)(2)在D1中的有些个体(人)用左手写字，因而“有的人用左手写字”符号化为xG(x)     

7、          (4.2)(b)D2中除了有人外，还有万物，因而在(1)，(2)符号化时，必须考虑将人分离出来。令M(x):x是人。在D2中，(1)，(2)可以分别重述如下:    (1)对于宇宙间一切事物而言，如果事物是人，则他要呼吸。(2)在宇宙间存在着用左手写字的人。于是(1)，(2)的符号化形式分别为x(M(x)→F(x))        (4.3)和x(M(x)∧G(x))        (4.4)其中F(x)与G(x)的含义同(a)中。命题(1)，(2)在不同的个体域D1和D2中符号化的形式不一样。主要区别在于，在使用个体域D2时，要

8、将人与其他事物区分开来。为此引进了谓词M(x)，像这样的谓词称为特性谓词。在命题符号化时一定要正确使用特性谓词。问:(a)能否将(1)符号化为x(M(x)∧F(x))？(b)能否将(2)符号化为x(M(x)→G(x))？问：1.在不同个体域内，同一个命题的符号化形式可能不同，也可能相同。2.同一个命题，在不同个体域中的真值也可能不同。注意1.一般说来，多个量词出现时，它们的顺序不能随意调换。例如，考虑个体域为实数集，H(x，y)表示x+y=10，则命题“对于任意的x，都存在y，使得x+y=10”的符号化形式为xyH(x,y)            

9、(4.17)所给命题显然为真命题。但是如果改变两个量词的顺序，得