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1、1第四章一阶逻辑基本概念(谓词逻辑)杨建林本章主要内容4.1一阶逻辑命题符号化4.2一阶逻辑公式及解释2例：逻辑三段论：凡人要死，张三是人，所以张三要死。P：凡人要死Q：张三是人R：张三要死此三段论表示为(P∧Q)R34例：如何将上述推理过程形式化？在命题逻辑中引入谓词、个体词和量词,将命题逻辑扩充成一阶谓词逻辑4.1一阶逻辑命题符号化谓词、个体和量词定义个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。称个体变项的取值范围为个体域(或称论域)。54.1一阶逻辑命题符号化例：王芳是大学生，用P表
2、示， 李明是大学生，用Q表示。在命题逻辑中就没办法表示出两句的联系。“……是大学生”用A(x)表示，x是大学生，命题符号含有个体词变量。a表示王芳，A(a)表示王芳是大学生。b表示李明，A(b)表示李明是大学生。"……是大学生"用A(·)来表示，这就是谓词。6谓词定义用来刻画一个个体的性质或多个个体之间关系的词，称为谓词。谓词中包含个体的数目称为谓词的元数。表示有具体确定意义的性质或关系的谓词，称为谓词常元(…与…是同学)，否则称为谓词变元(…与…具有关系L)。7例：将下列命题符号化x是有理数。x是个
3、体变项，“…是有理数”是谓词，记为G，用G(x)表示。x与y具有关系L.x，y为两个个体变项，谓词为L，符号化形式为L(x,y)。小王与小李同岁。小王，小李都是个体常项，“…与…同岁”是谓词，记为H，命题符号化形式为H(a,b)，其中，a:小王，b:小李。8n元谓词一个由个n个体和n元谓词所组成的命题可以表示为P(a1,a2,…,an),其中P表示n元谓词，a1,a2,…,an分别表示n个个体。9注意：(1)n元谓词中，个体变项的次序很重要。例：F(x,y)表示x是y的父亲，a:张三，b:张小明。F(a
4、,b)表示张三是张小明的父亲。F(b,a)表示张小明是张三的父亲。(2)讨论一个问题时必须先确定个体域D。如不作限制，表示宇宙一切事物组成的个体，称为全总个体域。10注意(续)(3)同一个n元谓词，取不同的个体，真假会不同。A(x)：x是大学生。A(a)真值可能为真，而A(b)真值可能为假。(4)对于同一谓词，个体域D不同，真值可能也不同。例：对于A(x)，x是大学生。如D={大学生全体}，A(x)是重言式。如D={学生全体}，A(x)是仅可满足式。如D={计算机全体}，A(x)是永假式。1112谓词逻
5、辑与命题逻辑可认为谓词逻辑是命题逻辑的推广，命题逻辑是谓词逻辑的特殊情形，零元谓词．一般地，一元谓词描述个体的性质，二元或多元谓词描述两个或多个个体间的关系。0元谓词中无个体，理解为就是命题，这样，谓词逻辑包括命题逻辑。命题函数定义由一个谓词和若干个体变元组成的表达式称为简单命题函数。由n元谓词和n个个体变元x1,x2,…,xn组成的命题函数，表示为P(x1,x2,…,xn)。由有限个简单命题函数以及逻辑联结词组成的命题形式称为复合命题函数。简单命题函数和复合命题函数统称为命题函数。13谓词和个体词于是
6、，用谓词的概念可将三段论做如下的符号化：令H(x)表示“x是人”，M(x)表示“x必死”。则三段论的三个命题表示如下：P：H(x)M(x) Q：H(张三) R：M(张三)14谓词和个体词例如我们想得到“命题”P的否定“命题”，应该就是“命题”P。但是，P(H(x)M(x))(H(x)M(x))H(x)M(x)亦即，“命题”P的否定“命题”是“所有人都不死”。这和人们日常对命题“所有人都必死”的否定的理解相差太远。15谓词和个体词其原因在于，命题P的确切意思应该是：“对任意x，如
7、果x是人，则x必死”。但是H(x)M(x)中并没有确切的表示出“对任意x”这个意思，亦即H(x)M(x)不是一个命题。因此，在谓词逻辑中除引进谓词外，还需要引进“对任意x”这个语句，及其对偶的语句“存在一个x”。16函数和量词量词语句“对任意x”称为全称量词，记以x；语句“存在一个x”称为存在量词，记以x。这时，命题P就可确切地符号化如下：x(H(x)M(x))命题P的否定命题为：P(x(H(x)M(x)))x(H(x)M(x))亦即“有一个人是不死的”。这个命题确实是“所
8、有人都要死”的否定。17函数和量词三段论的三个命题，在谓词逻辑中是如下这样表示的：P：x(H(x)M(x)) Q：H(张三) R：M(张三)以后可以证明：在谓词逻辑中，R是P和Q的逻辑结果。18量词定义称表示数量的词为量词。全称量词：表示“所有”、“任意”、“一切”的词，记为“”。x表示个体域里的所有个体,x为全称性变元。xA(x)表示个体域中的所有个体都有性质A。存在量词：表示“存在着”、“有某些”、“至少存在一个”的词，记为“
