第二章1一阶逻辑基本概念.ppt

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1、在命题逻辑中,把命题分解到原子命题为止,认为原子命题是不能再分解的,仅仅研究以原子命题为基本单位的复合命题之间的逻辑关系和推理。这样,有些推理用命题逻辑就难以确切地表示出来。例如,著名的亚里士多德三段论苏格拉底推理:退出1所有的人都是要死的,苏格拉底是人,所以苏格拉底是要死的。根据常识,认为这个推理是正确的。但是,若用命题逻辑来表示,设P、Q和R分别表示这三个原子命题,则有P,QR2然而,(P∧Q)→R并不是永真式,故上述推理形式又是错误的。一个推理,得出矛盾的结论,问题在哪里呢?问题就在于这类推理

2、中,各命题之间的逻辑关系不是体现在原子命题之间,而是体现在构成原子命题的内部成分之间,即体现在命题结构的更深层次上。对此,命题逻辑是无能为力的。3命题逻辑的局限性单用一个字母表示一个命题,描述不深刻,揭示不出原子命题内部的含义;命题演算对命题中量的概念无法表示。有些简单的推理问题,在命题逻辑中无法解决;问题出在各命题之间的逻辑关系不是体现在简单命题之间,而是体现在构成简单命题的内部成分之间,所以在必要对简单命题作进一步细分。在研究某些推理时,对原子命题进一步分析出其中的个体词,谓词和量词,研究它们的形式结

3、构的逻辑关系、正确的推理形式和规则,这些正是谓词逻辑(或称为一阶逻辑)的基本内容。42.1一阶逻辑基本概念2.2一阶逻辑合式公式及解释2.3一阶逻辑等值式第二章一阶(谓词)逻辑52.1一阶逻辑基本概念 (个体词、谓词和量词)在命题逻辑中,命题是具有真假意义的陈述句。从语法上分析,一个陈述句由主语和谓语两部分组成。在一阶逻辑中,为揭示命题内部结构及其不同命题的内部结构关系,就按照这两部分对命题进行分析,并且把主语称为个体词或客体,把谓语称为谓词。6例如:吴华是大学生,用P表示,李明是大学生,用Q表示。“……

4、是大学生”用A(x)表示:x是大学生,命题符号含有个体词变量。a表示吴华,A(a)表示吴华是大学生。b表示李明,A(b)表示李明是大学生。相当于“……是大学生”,用A(·)来表示,这就是谓词。7例:张三比李四高,用H(x,y)表示x比y高。a:张三b:李四H(a,b):张三比李四高H(b,a):李四比张三高x,y,a,b表示个体,H(·,·)是谓词,这个谓词涉及了两个个体,是二元谓词。81.个体词、谓词和命题的谓词形式定义2.1.1在原子命题中,所描述的对象称为个体词;用以描述个体词的性质或个体词间关系的

5、部分,称为谓词。个体词,是指可以独立存在的事物,它可以是具体的,也可以是抽象的,如张明,计算机,精神等。表示具体或特定的客体的个体词,称为个体常元,以a,b,c…或带下标的ai,bi,ci…表示;表示抽象或泛指的个体词,称为个体变元,以x,y,z…或xi,yi,zi…表示。9个体域:个体变项的取值范围。(分有限集合和无限集合)全总个体域:由宇宙间的一切事物组成。10谓词,当与一个个体相联系时,它刻划了个体性质;当与两个或两个以上个体相联系时,它刻划了个体之间的关系。表示具体性质或关系的谓词,称为谓词常元;

6、表示抽象或泛指的性质或关系的谓词,称为谓词变元,都用大写英文字母,如P,Q,R,…,或其带上、下标来表示。11例如,在命题“张明是位大学生”中,“张明”是个体,“是位大学生”是谓词,它刻划了“张明”的性质。设S(x):x是位大学生,c:张明,则“张明是位大学生”可表示为S(c),或者写成S(c):张明是位大学生。又如,在命题“武汉位于北京和广州之间”中,武汉、北京和广州是三个个体,而“…位于…和…之间”是谓词,它刻划了武汉、北京和广州之间的关系。设P(x,y,z):x位于y和z之间,a:武汉,b:北京,c

7、:广州,则P(a,b,c):武汉位于北京和广州之间。12注:区分:谓词与运算。虽都是自变量取自个体域上的函数,但函数值不同,运算的函数值是个体,谓词的函数值是真值。13定义2.1.2一个原子命题用一个谓词(如P)和n个有次序的个体常项(如a1,a2,…,an)表示成P(a1,a2,…,an),称它为该原子命题的谓词形式或命题的谓词形式。应注意的是,命题的谓词形式中的个体出现的次序影响命题的真值,不是随意变动,否则真值会有变化。如上述例子中,P(b,a,c)是假。142.原子谓词公式原子命题的谓词形式还可以

8、进一步加以抽象,比如在谓词右侧的圆括号内的n个个体常项被替换成个体变项,如x1,x2,···,xn,这样便得了一种关于命题结构的新表达形式,称之为n元原子谓词。定义2.1.3由一个谓词(如P)和n个体变项(如x1,x2,…,xn)组成的P(x1,x2,…,xn),称它为n元原子谓词或n元命题函数,简称n元谓词。而个体变项的论述范围,称为个体域或论域。15当n=1时,称一元谓词;当n=2时,称为二元谓词,…。特别地,当n=0,称

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