2013届高三数学二轮复习课件专题9第1讲函数与方程思想

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1、函数是中学数学的一个重要概念，它描述了自然界中量与量之间的依存关系，从量的方面刻画了宏观世界的运动变化、相互联系的规律，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画．变量是函数的基础，对应(映射)是函数的本质．函数一直是高考的热点、重点内容．它渗透在数学的各部分内容中．函数与方程思想是高中数学的基本思想方法之一，在解题中有着广泛的应用，是历来高考的重点，高考中有关方程的试题单独命题较少．最近几年函数与方程思想的命题主要体现在三个方面：①是建立函数关系式，构造函数模型或通过方程、方程组解决实际问题；②

2、是运用函数、方程、不等式相互转化的观点处理函数、方程、不等式问题；③是利用函数与方程思想研究数列、解析几何、立体几何等问题．在构建函数模型时仍然十分注重“三个二次”的考查．1．函数与方程的关系函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究．2．和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0

3、，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)函数f(x)＝(a＋bx)n(n∈N*)与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题及求和问题．(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立

4、函数表达式的加法加以解决，建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切．[例1](2011·泰安市模拟题)若关于x的方程cos2x－2cosx＋m＝0有实数根，则实数m的取值范围是________．[分析]将方程变形为m＝－cos2x＋2cosx，则当方程有实数根时，－cos2x＋2cosx的取值范围就是m的取值范围．[评析]本题若令cosx＝t，则可通过换元法将原方程化为关于t的一元二次方程，但求解过程将非常繁琐，而通过分离参数，引进函数，便可通过函数的值域较为简单地求得参数m的取值范围．[答案]

5、A[分析]本题可用参变分离或看作关于m的一次函数处理．[评析]应用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题，是多元问题中的常见题型，常见的解题思路有以下两种：(1)分离变量，构造函数，将不等式恒成立、方程求解等转化为求函数的最值(或值域)，然后求解．(2)换元，将问题转化为一次不等式、二次不等式或二次方程，进而构造函数加以解决．(2011·东莞模拟)对于满足0≤p≤4的实数p，使x2＋px>4x＋p－3恒成立的x的取值范围是________．[答案](－∞，－1)∪(3，＋∞)[评析]本题是构造函数解

6、题的很好的例证．如果对数列求和，那就是误入歧途．本题构造函数f(n)，通过单调性求其最小值解决了不等式恒成立的问题．利用函数思想解题必须从不等式或等式中构造出函数关系并研究其性质，才能使解题思路灵活变通．(2011·广州模拟)已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，求a的取值范围．[解析](方程思想)：因为b＋c＝－a，bc＝1－a.所以b，c是方程x2＋ax＋1－a＝0的两根，所以Δ＝a2－4(1－a)≥0，即Δ＝a2＋4a－4≥0，[分析]由题意，列出方程组，解方程组求解．[解析](

7、1)解法一：设等差数列{an}的公差为d，则依题设d>0.由a2＋a7＝16，得2a1＋7d＝16.①由a3·a6＝55，得(a1＋2d)(a1＋5d)＝55.②由①得2a1＝16－7d，将其代入②得(16－3d)(16＋3d)＝220，即256－9d2＝220，∴d2＝4.又d>0，∴d＝2，代入①得a1＝1.∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.[评析]数列可以看作是定义在正整数集(或它的子集)上的函数，所以用函数的观点处理数列问题就显得十分重要，在等差数列、等比数列中有关通项及前n项和的问题都可

8、以看成n的函数，用函数的方法解决．