高考数学二轮专题训练：专题八 第1讲 函数与方程思想.pdf

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1、第1讲　函数与方程思想1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方

2、程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉

3、及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.热点一　函数与方程思想在不等式中的应用例1(1)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝________.(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是__________．答案　(1)4(2)(－∞，

4、－3)∪(0,3)解析　(1)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；31当x>0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.x2x33131－2x11设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间0，上单调递增，在区间，1上单x2x3x4(2][2]调递减，1因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4；(2)当x<0即x∈[－1,0)时，31f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，x2x331设g(x)＝－，且g(x)在区间[－1,0)上单调递增，x2x3因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤

5、4，综上a＝4.(2)设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)在R上为奇函数．又当x<0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，所以x<0时，F(x)为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x>0时，F(x)也是增函数．因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)．所以，由图可知F(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．思维升华　(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想

6、方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)>0或f(x)<0恒成立，一般可转化为f(x)min>0或f(x)max<0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解．(1)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0B．x＋y≤0C．x－y≤0D．x－y≥01(2)已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()233A．m≥B．m>2233C．m≤D．m<22答案　(1)B(2)A解析　(1)把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y，构造函

7、数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y.1(2)因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m.所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，经检验227知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成2立，即f(x)≥－9恒成立，273所以3m－≥－9，解得m≥，故选A.22热点二　函数与方程思想在数列中的应用例2　已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；111(2)在(1)的条件下，

8、数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝＋＋…＋，若对任意的Sn＋1Sn＋2S2nn∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．解　(1)因为a1＝2，a23＝a2·(a4＋1)，又因为{an}是正项等差