三角形相似形

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1、三角形相似形【本讲重点】：1)比例的性质①基本性质：如果＝（或a∶b＝c∶d），那么ad=bc；反之亦成立。比例尺。②合比性质：若，则③等比性质：若，则④比例中项：若a∶b＝b∶c，则b称为a,c的比例中项；⑤比例尺（包括地图和模具图）：图上距离：实际距离。1“平行出比例”定理及逆定理：（1）平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例；（1）（3）（2）几何表达式举例：(1)∵DE∥BC∴(2)∵DE∥BC∴(3)∵∴DE∥BC2．比例的基本性质：a:b=c:dÛÛad=bc；3．定理：“平行”出相似平行于三角形一边的直线和其它两边（或

2、两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.几何表达式举例：∵DE∥BC∴ΔADE∽ΔABC4．定理：“AA”出相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例：∵∠A=∠A又∵∠AED=∠ACB∴ΔADE∽ΔABC5．定理：“SAS”出相似如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例：∵又∵∠A=∠A∴ΔADE∽ΔABC6．“双垂”出相似及射影定理：（1）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似；（2）双垂图形中，两条直角边是它在斜边

3、上的射影和斜边的比例中项，斜边上的高是它分斜边所成两条线段的比例中项.几何表达式举例：(1)∵AC⊥CB又∵CD⊥AB∴ΔACD∽ΔCBD∽ΔABC(2)∵AC⊥CBCD⊥AB∴AC2=AD·ABBC2=BD·BADC2=DA·DB7．相似三角形性质：（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线、周长的比都等于相似比；（3）相似三角形面积的比，等于相似比的平方.(1)∵ΔABC∽ΔEFG∴∠BAC=∠FEG(2)∵ΔABC∽ΔEFG又∵AD、EH是对应中线∴(3)∵ΔABC∽ΔEFG∴两相似三角形对应的边、周长、

4、中线、角平分线（中垂线）的比都等于相似比；面积比等于相似比的平方。1)三角形相似的基本图形（4种）：图1图2图3图42)图形的运动与画位似图形：平移、旋转、轴对称（翻转）、放大（缩小），画位似图时注意位似中心；3)动点问题：①求面积S与时间t的关系；②当t为何值时，两三角形相似，注意，此时一般有两种相似对应，所以应该有两个t值。【例题讲解】：1)线段b是线段a、c的比例中项，若a=2，b=3，那么c=。2)在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为m。3)若，则．4)(2008年遵义市)东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高

5、是176cm，东东的身高是156cm，在同一时刻爸爸的影长是88cm，那么东东的影长是cm．5)如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是（）A．B．C．D．6）如图，已知DE∥BC，CE和BD相交于点O，S△DOE∶S△COB＝4∶9，则AE∶EB为(　)图6　　A．2∶1B．2∶3　　C．3∶2D．5∶47）在中,为直角,于点,,找出其中所有的相似三角形，并写出它们的相似比和面积比。8）如图，在正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B（4，2）．第8题图TOBAxy（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′∶TA）3∶

6、1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．9)（08广东中山市）如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.（1）求证：EF∥BC.（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.(注意解题过程)ABCED【随堂练习】：1)若x∶y∶z=2∶5∶9，则。2)已知=3，那么的值是____________3)（08福

7、州）如上图，在中，分别是的中点，若，则的长是．4)（08湖北荆州）两个相似三角形周长的比为2:3，则其对应的面积比为___________。5)某校绘制的校园平面图的面积为2.5m2，比例尺为1：200，则该校占地面积m2。6)用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：（选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．7)小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A．0.5mB．0.55mC．0.6mD．2.2m8)(2008常州市)如图,在△ABC中,若DE∥BC,=,DE=

8、4cm,则