计算机图形学第5章投影变换

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1、第五章投影变换重点：掌握平行投影、透视投影以及投影分类的概念。难点：理解并推导透视投影的变换公式及变换矩阵。课时安排：授课4学时。人们观察自然界的物体时，所得视觉映像同观察点、观察方向有关。同样，要用计算机生成一幅三维视图，也需要确定观察点、观察方向，还需要将观察范围以外的部分图形裁剪掉。而且，由于图形输出设备通常都是二维的，还必须将三维图形转换到输出设备的观察平面上，二维图形基元产生图形,从三维物体模型描述到二维图形描述的转换过程称为投影变换。一、投影的概念投影变换分为平行投影和透视投影两种：1、透视投影变换：投影

2、射线汇聚于投影中心，或者说投影中心在有限远处的投影。5.1投影概念分类（a）透视投影变换示意图即从空间选定的一个投影中心和物体上每点连直线从而构成了一簇射线，射线与选定的投影平面的交点集便是物体的投影。见下图（a）。2、平行投影变换：平行投影可以看成投影中心在无限远处的投影。见下图（b）。（b）平行投影变换示意图投影面投影中心投影线ABA’B’投影面投影中心投影线ABA’B’透视投影平行投影平行投影保持物体的有关比例不变，这是三维绘图中产生比例图画的方法。物体的各个面的精确视图可以由平行投影得到。另一方面，透视投影不

3、保持相关比例，但能够生成真实感视图。对同样大小的物体，离投影面较远的物体比离投影面较近物体的投影图象要小，产生近大远小的效果。二、投影的分类平行投影可根据投影方向与投影面的夹角分成两类：正平行投影和斜平行投影。当投影方向与投影面的夹角为90°时，得到的投影为正平行投影，否则为斜平行投影,如下图所示。5.2正平行投影正平行投影的投影中心是在无限远处，且投影射线与投影平面垂直。正平行投影根据投影面与坐标轴的夹角又可分成两类：正投影(三视图)和正轴测投影。当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图，这时投影方向与这个坐

4、标轴的方向一致。否则，得到的投影为正轴测投影，如下图所示。5.2.1正投影正投影的投影方向与用户坐标系的某个坐标轴方向平行，即投影方向与另外两个坐标轴组成的平面是垂直的。示意图中给出了立方体的各种正投影。在观察坐标系中进行正投影很方便，因为是按Z方向投影，物体的投影图坐标便与它的Z值无关，所以去掉Z变量便是三维物体的二维投影描述。沿Z方向正投影的变换可表示成：其中，xo,yo,zo是投影点坐标，xo,yo,zo是物体上点的坐标。由于在三视图上保持了有关比例的不变性，可以精确地测量长度和角度等量，因此常用于工程制图。下

5、图是一个三视图投影的例子。5.2.2正轴测投影正轴测投影的投影方向不与坐标轴方向平行。为了达到投影要求，需在用户坐标系中安排恰当的观察坐标系位置。假设观察坐标系与用户坐标系重合。经将用户坐标系先绕y轴旋转θ角，再绕x轴旋转φ角的变换，形成观察坐标系与用户坐标系的新的位置关系，如上图所示。两坐标系之间的变换矩阵为：在观察坐标系中的正投影是去掉它们的z分量，即可得到正轴测投影的图形。常用的正轴测投影有：1、正等轴测投影正等轴测投影：投影方向与各坐标轴夹角相等的正轴测投影，此时物体中各边以相同比例缩小，如图所示。根据正轴测

6、投影的变换公式（见正轴测投影示意图），在用户坐标系中，x轴上A点［1001］变换后为：［1001］·H=[copθpinθ·pinφ-pinθ·copφ1]y轴上B点［0101］变换后为：［0101］·H=[0copφpinφ1]z轴上C点［0011］变换后为：［0011］·H=[pinθ-copθ·pinφcopθ·copφ1]在观察坐标系中的正投影是去掉z分量，上述三点到坐标原点的长度是,按正等轴测投影的要求，原用户坐标系中x、y和z方向单位长度的投影长度应相等：A'O=B'O、C'O=B'O即解上述方程组：，，

7、，，所以正等轴测投影变换矩阵为：2、正二轴测投影正二轴测投影：投影线与各坐标轴的夹角中有两个相等，使得物体中有两个与坐标轴平行的边等比例缩小的正轴测投影，如图所示。设投影线与x轴及y轴的夹角相等，则A'O=B'O即另给一约束条件，设原用户坐标系中z方向单位长度的投影长度是k，即解上述方程组：，，，。从而可以确定投影变换矩阵H。3、正三轴测投影正三轴测投影：投影线与各坐标轴夹角全不相等，使得物体中三个与坐标轴平行的三条边各以不同比例缩小的正轴测投影，如图所示。5.3斜平行投影斜平行投影：是指投影射线方向不与投影平面垂直

8、的平行投影。若投影方向用矢量［A，B，C］表示，则点(Xo,Yo,Zo)的投影直线可用参数写成以Z=0（Zo=0）的平面作为投影平面时，射线与投影面的交点满足t=-Zo/C，所以投影点的坐标是:Xp=Xo－A·Zo/C和Yp=Yo－B·Zo/C。这些变换关系可写成：[xpypzp1]=[xoyozo1]·Mob其中投影方向不垂直于投影平面的平行