复变函数积分理论的研究

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1、复变函数积分理论的研究摘要：本文对复变函数论中复积分的定义、基本性质及相关定理等内容进行了归纳总结，重点论述了通过变量代换、柯西积分公式、柯西积分定理及留数定理来总结复积分的计算方法,并从中揭示这些方法的内在联系。关键词：复变函数；变量代换；积分定理；积分公式；积分计算复变函数的积分是复变函数理论中的最基本的概念之一，也是研究解析函数的一个重要工具，解析函数的许多基本性质主要通过复变函数积分来体现。深刻理解并掌握复积分的理论体系对学习复变函数是至关重要的，也有重要的应用价值。复变函数积分主要是围线积分，

2、关于围线积分的定理有柯西积分定理,复合闭路定理,柯西积分公式,解析函数的导数公式,留数定理等等,定理多,公式也较多，在具体计算积分时往往不容易找准计算的方法。为此有必要对复变函数积分理论的有关内容进行总结、研究，对教材的内容做一个系统化的处理。1.复变函数积分的定义、计算问题及其基本性质1.1复积分的定义及计算问题1.1.1复积分的定义定义1：设有向线段C：图1以为起点，为终点，沿C有定义，顺着C从到的方向在C上取分点：把曲线C分成若干个弧段（如图1所示）。在从到的每一弧段上任取一点。作成和数：其中。当

3、分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，即记如果和数的极限存在且等于，则称沿C（从到）可而称为沿C（从到）的积分，并以记号表示：C称为积分路径。表示沿C的正方向的积分，表示沿C的负方向的积分。如果存在，我们一般不能把写成的形式，因为的值不仅和有关，而且和积分路径C有关。1.1.2可积条件12i.必要条件：沿C可积的必要条件是沿C有界。ii.充分条件：定理：若函数沿曲线C连续，则沿C可积，且1.1.3复积分的计算问题设有光滑曲线C的参数方程为：在上连续且有不为零的导数又设沿C连续，令则有：即：或：1

4、.2复积分的基本性质设函数沿曲线C连续，则复变函数积分有下列的性质：1)是复常数；2)；3)，其中C由曲线和衔接而成；4)；5)，这里表示弧长的微分，即；2.复积分的基本定理2.1柯西积分定理及其推广2.1.1柯西积分定理定理1.（柯西定理）设函数在平面上的单连通区域D内解析，C为D内任意一条周线，则（此定理的证明比较困难，附加假设“在D内连续”的条件后，给出简单证明。）证明：令，则易知：12而在D内连续，导致在D内连续，并适合C.-R.方程：，由格林定理得，，故得：定理2.设函数在平面上的单连通区域D

5、内解析，C为D内任一闭曲线（不必是简单的），则图2推论1.设函数在平面上的单连通区域D内解析，则在D内积分与路径无关。即对D内任意两点，积分之值，不依赖于D内连接起点与终点的曲线。证明：设与是D内连接起点与终点的任意两条曲线（如图2所示）。则正方向曲线与负方向曲线就衔接成D内的一条闭曲线C。于是由定理2与基本性质(3)有，因而2.1.2柯西积分定理的推广对于柯西积分定理，从两方面对其进行推广：将C在区域D内减弱为C是D的边界；将有接单连通区域推广为有界多连通区域。为此有如下结果。定理3.设C为一条简单闭

6、曲线，D是C的内部，函数在闭区域上解析，则定理4.设C为一条简单闭曲线，D是C的内部，函数在D内解析，在闭区域上连续，则定理5.设与是两条简单闭曲线，在内部，在由，所围成的双连通区域D内解析，在闭区域上连续，则证明：在D内作简单光滑弧，连接与（如图3所示），将区域D分为两个单连通区域,。的边界为,边界为。则在与内解析，在与上连续，由定理4知，得，。又由于图3EHABFP因此12从而得定理6.设D是由复周线，所围成的有界n+1连通区域，函数在D内解析，则或写成（沿外边界积分等于沿内边界积分之和）定理7.（

7、复合闭路定理）设C为多连通区域D内的一条简单闭曲线，是C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以为边界的区域含于D，如果在D内解析，则有，其中，C及均取正方向。2.2不定积分原函数定理定点动点定义2.如果函数在单连通区域D内解析，则沿D内任一曲线C的积分只与其起点与终点有关，因此当起点固定时，这积分就在D内定义了一个变上限的一个单值函数，我们把它记为变上限积分定义3.设在单连通区域D内，函数的导数等于，则称是在单连通区域D内的一个原函数或不定积分。定理8.（原函数定理）设函数在单连通区域D内解析

8、，则由定义2定义的函数在D内解析，且定理9.设（1）函数在单连通区域D内连续；（2）沿区域D内任一周线的积分值为零（积分与路径无关），则函数（为D内一定点）在D内解析，且。定理8和定理9的证明详见参考文献[1]定理10.设在单连通区域D内解析，为的一个原函数，，12为区域D内的两点，则证明：由定理8知，在D内解析，且，又由于。因此，从而，其中C为常数。令，由，知，则有定理11.设在单连通区域D内解析，，为区域D内两点，则有2.3留数定理定义