《直线和圆的方程》的几组问题链

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1、本文发表于《数学专页》2004年9月高二版《直线和圆的方程》的几组问题链刘祖希（苏州市第一中学215006）孤立地、片面地解决一个习题，毫无疑问是低效的学习方式，我们坚决反对；用联系、发展的观点去研究习题之间的内在联系，同时解决一组问题（我们称为问题链），这种高效率的学习方式，我们极力倡导.本文编拟了《直线与圆的方程》中的几组问题链，总体上涵盖了本章的主要思想方法和内容；每组问题链内部的习题，或相对、或互补、或发展、或引申，解答起来，既有挑战性更有趣味性.问题链1：直线的截距相等问题1-1直线过点，且在两个坐标轴上的截距相等，求直线的方程.变式当=_____时，直线在两个坐标轴上的

2、截距相等.1-2直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程.1-3直线过点，且在两个坐标轴上的截距绝对值相等，求直线的方程.1-4与圆相切、且在两个坐标轴上的截距相等的直线共有条.变式与点距离等于1、且在两个坐标轴上的截距相等的直线共有条.1-5与圆相切、且在两个坐标轴上的截距互为相反数的直线共有条.1-6与圆相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线有且仅有3条，求圆的半径.问题链2：截距三角形问题2-1直线过点，与正半轴分别交于点.求最小值.2-2直线过点，与正半轴分别交于点.求最小值.引申1直线过点，与正半轴、直线在第一象限分别交于点.求最小值.引申2直线过点P，且斜

3、率为，将直线绕P点逆时针旋转得到直线，若直线与直线分别与y轴交于、两点，当为何值时，面积最小，并求出最小值.2-3直线过点，与正半轴分别交于点.求最小值.82-4直线过点，与正半轴分别交于点.求最小值.2-5直线过点，与正半轴分别交于点.求最大值.引申1：在内有一定点，过作直线交的两边于.问何时取得最大值？（1979年美国数学奥林匹克）引申2：直线交的两边于，若为定值，则直线恒过一定点.问题链3：两类四种对称问题3-1点关于点的对称点是.3-2直线关于点的对称直线是.3-3点关于直线的对称点是.3-4曲线关于直线的对称曲线是.问题链4：六种距离问题4-1过点作直线，使点到的距离相等

4、.这样的直线可作几条？4-2过点作直线，使点到直线距离为.这样的直线可作几条？4-3与点距离同为的直线可作几条？变式在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条（2004高考全国Ⅱ卷题）4-4过点分别作直线，使距离为.这样的直线可作几组？4-5作直线被两平行直线截得线段为，的距离为.这样的直线可作几条？4-6已知直线，作直线且与距离之比为.这样的直线可作几条？问题链5：直线（圆）系问题5-1方程表示过定点的直线系（不包括）.5-2与直线平行的直线系.5-3与直线垂直的直线系.85-4已知两条相交直线、.则方程表示.

5、5-5二元二次方程表示两条直线和.若表示两条直线，则.5-6已知不同圆心的两圆、.则方程表示.问题链6：圆的切线问题6-1已知圆的方程，求过圆上一点的切线方程.6-2已知圆的方程，求过圆上一点的切线方程.6-3已知圆的方程，求过圆上一点的切线方程.问题链7：圆的极线问题7-1已知圆的方程，点在圆上.直线是何意义？它和圆有几个交点？7-2已知圆的方程，点在圆外.直线是何意义？它和圆有几个交点？7-3已知圆的方程，点在圆内.直线是何意义？它和圆有几个交点？以上三情形统称直线为关于圆的极线，称为极点.问题链8：圆的幂8-1已知点在圆外，过作切线，求.8-2已知点在圆内，过作弦，求.8-3

6、试将8-1及8-2归纳成一个统一的结论，并包含点在圆上的情形.8参考解答1-1.一共2条，设或，解得或.变式.或0.1-2.一共2条，设或，解得或.1-3.一共3条，综合1-1、1-2得或或.1-4.一共4条，设直线方程或，由圆心到直线的距离，解得，，所求切线方程为或.变式.等价于1-4.1-5.一共3条，同1-4求得切线方程为、或，其中两条重合.1-6.分别就原点在圆外、圆上讨论，或.注：特别注意防止漏掉过原点的直线，.图1图22-1.如图1，设直线方程，∵直线过点，∴.，∴.2-2.如图1，设直线方程，∵直线过点，∴.∴，，，当且仅当即时，取得最小值，此时，，为中点，直线方程.

7、注：2-1、2-2及2-3、2-4、2-5都可以使用角参数，这是通法.82-3.如图2，设.则，当且仅当时，取得最小值.2-4.如图2，设.记，，当且仅当即时，取得最小值，最小值为.2-5.如图2，设.则，其中，当且仅当即时，取最大值，此时.引申1：设，设到的距离为，∵，∴.∴，∴当时上述等号成立，从而取得最大值.8引申2：恒过和的交点.3-1.对称点.3-2.对称直线.方法是：利用轨迹思想和3-1.3-3.对称点.方法是：利用“一中”“一垂”.3-4.对称曲线.方法