直线和圆的方程对称问题

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1、题目第七章直线和圆的方程对称问题高考要求　　1．掌握求已知曲线的轴对称曲线和中心对称曲线方程的方法：结合曲线对称的定义，用求曲线方程的方法求对称曲线的方程(归结为点的对称)2．掌握判断曲线关于几种特殊直线对称的方法:①y=x;②x轴;③y轴知识点归纳1点关于点对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P′（2a－x0，2b－y0）2点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”“平分

2、”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有，可求出x′、y′特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P′（2a－x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P′（x0，2b－y0）3曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题：一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）一般结论如下：（1）曲线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程是f（2a－x，2b－y）=0（2）曲线f（x，y

3、）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法：设曲线f（x，y）=0上任意一点为P（x0，y0），P点关于直线y=kx+b的对称点为P′（y，x），则由（2）知，P与P′的坐标满足从中解出x0、y0，代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0利用坐标代换法就可求出曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程4两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y）；（2）点（x，y）关于y轴的对称点为（－x，y）；（3）点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）；（4）点（x，

4、y）关于直线x－y=0的对称点为（y，x）；（5）点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（－y，－x）题型讲解例1求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程分析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；（2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程4解：由，解

5、得a与l的交点E（3，－2），E点也在b上方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－则=解得k=－代入点斜式得直线b的方程为y－（－2）=－（x－3），即2x+11y+16=0方法二：在直线a：2x+y－4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0），由解得B（，－）由两点式得直线b的方程为=，即2x+11y+16=0例2光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程分析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对

6、称解：∵A（－3，4）关于x轴的对称点A1（－3，－4）在经x轴反射的光线上，同样A1（－3，－4）关于y轴的对称点A2（3，－4）在经过射入y轴的反射线上，∴k==－2故所求直线方程为y－6=－2（x+2），即2x+y－2=0点评：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透例3已知点M（3，5），在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小分析：如下图，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结MM1、MM2，连线MM1、MM2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到

7、的△MPQ的周长最小解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（－3，5）据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y－7=0令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，）解方程组得交点P（，）故点P（，）、Q（0，）即为所求点评：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果学生练习1已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y4=0对称，则点Q的坐标为解析：N（a，－b），P（－a，－b），则Q（b，a）．2曲线y2=4x

8、关于直线x=2对称的曲线方程是解：设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P（x，y），则P（x，y）关于直线x=2的对称点为Q（4－x，y）因为Q（4－x，y）在曲线y2=4x上，所以y2=4（