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《线性代数4.1二次型与对称矩阵》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、Ch4二次型如如在平面解析几何中,配方得:在空间解析几何中,配方:为椭圆.为球面.对二次曲线及二次曲面的研究,二次型不仅在几何中出现,二次曲线的一般方程为:令得发展了二次型的理论。在数学的其它分支以及工程技术和经济管理的许多问题中也常常遇到.二次曲面的一般方程为:定义4.1只含有二次项的n元多项式称为的一个n元二次型,令aij=aji,则二次型可写为：(一)二次型及其矩阵简称为二次型.令其中A为对称矩阵.对称矩阵A称为二次型的矩阵.例如二次型它的矩阵为矩阵A的秩称为二次型的秩.例如二次型此二次型的矩阵为是对称矩阵.又如二次型此二次型的矩阵为是对称矩阵.的矩阵为此二次型的矩
2、阵为二次型对称矩阵的矩阵为反之，设A是任一对称矩阵故二次型可以用矩阵的形式表示：对称矩阵A为=二次型对称矩阵A二次型二次型的矩阵为矩阵A对应的二次型例如对称矩阵==又如又如:A为对称矩阵,A对应的二次型为:A对应的二次型为:给定一个n元二次型反之,给定一个n阶对称矩阵A,二次型和对称矩阵一一对应.就可得到唯一的n阶对称矩阵A,A为该二次型的矩阵,二次型可写为就可得到唯一的A就是此二次型的矩阵。A的秩称为该二次型的秩。n元二次型在平面解析几何中,所表示的曲线的性态，使曲线方程化为标准形作转轴变换方程化为：整理得此方程只含x,y的平方项,从x,y到x’,y’的线性替换（二）线
3、性替换是双曲线.为了了解二次方程通常利用转轴变换标准形定义4.2设两组变量称为由变量线性替换(4.3)可以用矩阵形式表示C称为线性替换(4.3)的矩阵(4.3)和具有如下关系的线性替换.到(4.3)称为非退化的线性替换.此时C-1存在当C是正交矩阵时,称为线性替换x=Cy的逆替换.称线性变换x=Cy为正交替换.例如转轴变换为由变量x,y到x’,y’的线性替换.此线性替换是正交替换.其逆变换也是正交替换.是正交矩阵,此线性替换也是非退化线性替换,Q可逆,其逆变换为给定二次型设该二次型经过非退化线性替换化为:证:在上式中，矩阵B仍为对称矩阵，Y是以B为矩阵的二次型，两个二次型
4、的秩相等。A和B之间的关系是什么呢？定义4.3设A,B是两个n阶矩阵,定理经过非退化线性替换,如果存在n阶使得CTAC=B成立,则称矩阵A与B合同,原二次型的矩阵与新二次型的矩阵合同。A与B合同,记为A与B相似记为存在可逆矩阵C,使得存在可逆矩阵P,使得如果C是正交矩阵,则此时若B=CTAC则B与A既相似又合同.可逆矩阵C,∽—记为∽—它具有如下性质：证(1)∵C1和C2都可逆（1）反身性：对任意方阵A，有（2）对称性：若（3）传递性：若(2)由(3)由由“合同”是矩阵之间的一种关系,则则存在可逆矩阵C，使得∴C1C2也可逆∴AC～∽—∽—∽—∽—∽—∽—∽—∽—∽—
