资源描述：
《线性代数4.3二次型与对称矩阵的有定性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、例1考虑二次型有称此二次型是正定二次型.相应的矩阵为正定矩阵.例2考虑二次型§4.3二次型与对称矩阵的有定性有称此二次型是半正定二次型.相应的矩阵称为半正定矩阵.例3二次型有称此二次型是负定二次型.相应的矩阵为负定矩阵.例4考虑二次型有称此二次型是半负定二次型.相应的矩阵称为半负定矩阵.定义4.4对于具有对称矩阵A的二次型如果对任何都有则称二次型如果对任何都有则称二次型是负定二次型.A称为正定矩阵A称为负定矩阵是正定二次型.定义4.4对于具有对称矩阵A的二次型如果对任何都有则称二次型如果对任何则称二次型是半负定二次型.A称为半正定矩阵A称为半负定矩阵都有且存在且存
2、在使使是半正定二次型.二次型是正定的有有二次型是半正定的有且使有且使例二次型不是正定的;(半)(半)也不是负定的.此时称为不定的.二次型是负定的二次型是半负定的例二次型对任何故二次型为正定二次型故单位矩阵En为正定矩阵.设d1,d2,…,dn均大于0,事实上,对任何故二次型为正定二次型故当d1,d2,…,dn均大于0时,为正定二次型为正定矩阵.例二次型对任何故此二次型为半负定二次型.例二次型是不定的.定理4.7对角矩阵为正定矩阵证充分性已证.必要性:设D是正定矩阵,则定理4.6设A～B－如果A正定,证由AB知～由于C可逆，方程组只有零解.A正定,所以矩阵B正定.则
3、B也正定.C可逆。要证只须证是否正定呢?矩阵为正定矩阵的充分必要条件,准则2准则4准则1A与单位矩阵E合同.A的特征值都大于零准则3f的正惯性指标为n以下给出几个作为判别准则.存在使得矩阵A为正定矩阵n元二次型f正定矩阵A为正定矩阵可逆矩阵C,如何判断一个矩阵或二次型准则5矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是定义4.5称为矩阵A的顺序主子式.A的顺序主子式都大于零.(定理4.9)例判别下列矩阵或二次型是否正定∴A正定解二次型对应的矩阵为：∴该二次型正定解二次型对应的矩阵为：∴二次型不正定课堂练习判别二次型是否正定例取何值时,解二次型对应的矩阵为：时，二次型正定.以下
4、二次型为正定证:∵A是实对称矩阵A的所有特征值准则4矩阵A为正定矩阵A的特征值都大于零∴A～A正定A的所有特征值∴存在正交矩阵Q,使得准则2矩阵A为正定矩阵A与单位矩阵E合同.∵A是实对称矩阵A的所有特征值证充分性:若则由于E正定,必要性:设A正定,则A的特征值都大于0则PT=PP与Q都可逆,故故A正定.∴存在正交矩阵Q,使得也可逆，准则3n元二次型f正定f的正惯性指标为n证设f=xTAx其对应的矩阵A正定存在可逆矩阵C，使得经过非退化线性替换二次型化为f的正惯性指标为n二次型正定正定矩阵的性质:(1)若A正定,证法1∵A正定A－1的特征值都大于0，证法2∵A正定
5、即存在可逆矩阵C，使得故A－1正定.D可逆则A可逆,且A－1也正定.∴A的特征值都大于0A的特征值都≠0所以A可逆.故A－1正定0是A的特征值0不是A的特征值正定矩阵的性质:正定矩阵的主对角线上的元素都大于0都有证设正定,则矩阵A负定都有证：A负定都有矩阵(－A)正定.故判断一个矩阵是否负定,负定的判别：可以转化为判断它的负矩阵是否正定.矩阵正定.(k=1,2,3,…,n)负定正定即A的顺序主子式负正相间.例A是负定矩阵.注意:矩阵A负定A的顺序主子式负正相间.A的顺序主子式都为负.矩阵A正定A的顺序主子式都为正.∵矩阵A、B都正定∴A、B的特征值都大于0∴C的特
6、征值都大于0∴矩阵C正定.若是A的全部特征值,是B的全部特征值.则是C的全部特征值.
