矩阵的特征值和特征

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1、第四节矩阵的特征值与特征向量一n维向量的概念定义n个有顺序的数所组成的数组称做n维向量，数称为向量的分量（或坐标），aj叫做的第j个分量（或坐标），分量全为实数的向量称为实向量，分量是复数的向量称为复向量。我们只讨论实向量。向量一般用希腊字母表示（有时采用黑体）。行向量：列向量：行向量、列向量统称为向量。只有一行或一列的矩阵，也可称为向量。如的行向量为A的列向量为于是，矩阵有m个n维行向量，同时有n个m维列向量。零向量（分量全为零）：n维单位坐标向量：向量与相等记作二n维向量的线性运算定义设则称为向

2、量与的和定义设为实数，则称为数与向量的乘积当时，记称它为的负向量向量的加法运算与数乘运算统称为向量的线性运算。运算律：设都是n维向量，都是实数，则(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)注意：两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。三特征值与特征向量的概念引例在一个n输入n输出的线性系统y=Ax中，其中我们可发现系统A对于某些输入x，其输出y恰巧是输入x的倍，即；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。例如，对系统，若输入则若输入，则所以，给定一个线性系统A，

3、到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数等于多少？这显然是控制论中感兴趣的问题。定义设A是一个n阶方阵，若存在着一个数和一个非零n维向量x，使得则称是方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值的特征向量，或简称为A的特征向量。四特征值与特征向量的求法可改写为这实际上是一个n个未知数n个方程的齐次线性方程组，特征向量可看成是它的一个非零解。而此齐次线性方程组有非零解的充要条件是，即（称为方阵A的特征方程）上述方程的左端是的n次多项式，记作，称为A的特征多项式。从A的特征方程中解出的值就是A的特

4、征值。然后通过求解方程组就可以求出A的特征向量。例求矩阵的特征值和特征向量。求特征值和特征向量的一般步骤：（1）由求出所有特征值（2）求解齐次线性方程组（为特征值），则所得非零解x必为特征向量（它是基础解系的线性组合，且为非零向量）结论：不同的特征值对应的特征向量不相等，即：一个特征向量只对应一个特征值。布置作业：P130:1.2(3).3.