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1、垂直关系的判定与性质一、知识梳理(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,bα，a⊥b.④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=
2、a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于
3、另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,则l⊥α.⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα，则α⊥β.③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.二、典例精析考点一：线面垂直的判定及性质例1：如图所示，AB为⊙
4、O的直径，C为⊙O上一点，AP⊥面ABC，AE⊥BP于E，AF⊥CP于F.求证：BP⊥平面AEF(2009·北京)如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2,AC=.求证：AO⊥平面BCD.考点二：面面垂直的判定及性质例2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD边的中点.（1）求证：BG⊥平面PAD（2）求证：AD⊥PB（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F,使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你
5、的结论.即时训练在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，AB=AC,侧面⊥底面ABC.（1）若D是BC的中点，求证：AD⊥（2）过侧面的对角线的平面交侧棱于M，若AM=,求证：截面⊥侧面.考点三：平行、垂直关系的综合应用例3如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．如图2，将△ABE沿AE折起，使二面角B－AE－C成直二面角，连结BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点．(1)求证：AE⊥BD；(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．2、如图所示，直三棱
6、柱—中，=，⊥，M、N分别是、AB的中点．(1)求证：⊥平面；(2)求证：⊥AM；(3)求证：平面∥平面；(4)求与所成的角3、如图①，长方形ABCD中，BC＝，AB＝6，把它折成正三棱柱的侧面(如图②)，使AD与BC重合，长方形的对角线AC与折痕线EF、GH分别交于M、N，连结AN.(1)求多面体AMND的体积；(2)求证：平面DMN⊥侧面ADFE.三、模拟演练1．(2010年宁波十校联考)设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是________．①若b⊂α，c∥α，则b∥c ②若b⊂α，b∥c，则c∥α③若c∥
7、α，α⊥β，则c⊥β④若c∥α，c⊥β，则α⊥β解析：①中，b，c亦可能异面；②中，也可能是c⊂α；③中，c与β的关系还可能是斜交、平行或c⊂β；④中，由面面垂直的判定定理可知正确．答案：④2．(2010年青岛质检)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为________．解析：对于①，由直线l⊥平面α，α∥β，得l⊥β，又直线m⊂平面β，故l⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l∥m，还有l与m垂直和异面的情况，故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的
8、个数为2.答案：2个3．(2009年高考山东卷改编)已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件．解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果
