垂直关系 常见证明方法补课二

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1、垂直关系常见证明方法（一）直线与直线垂直的证明1)利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。2)看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。3)利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。αb4)利用平面与平面垂直的性质推论：如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。bβα5)利用常用结论：c①如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。bb②如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条

2、直线互相垂直。α（二）直线与平面垂直的证明1)利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等18181)看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。2)利用直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。3)利用平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。4)利用常用结论：①一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。②两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。平面与平面垂直的证明1)利用某些空间几何体的特性

3、：如长方体侧面垂直于底面等2)看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。3)利用平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。空间的平行与垂直◆一轮回顾1．已知直线a、b、l及平面M、N。给出下列四个命题1818①若a∥M，b∥M，则a∥b②若a∥M，b⊥a，则b⊥M③若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M④若a⊥M，a∥N，则M⊥N其中真命题的序号是______④_______.（将所有正确结论的序号都写上）2．已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内的

4、两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；③四面体中最多可以有四个面是直角三角形；④若mα且l⊥β，且α∥β则ml其中正确命题的是①③④。3．如图，两个正方形和所在平面互相垂直，设、分别是和的中点，那么①；②面；③；④、异面其中正确结论的序号是__①②③___________.FEADBCMN4．在正方体中，为底面的中心，、、、分别为棱、、、的中点，请写出一个与垂直的正方体的截面_________（或或）.（截面以给定的字母表示，不必写出所有情况）5．如图，四棱锥中，为正方形，底面，那么在该图中，互相垂直的平面有___________对.AD

5、BCOP6．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题：①若，，则；1818①若，，则；③若，，，则；④若m、n是异面直线，，，，，则，其中真命题是①和④◆典型例题例1．在棱长为的正方体中。（1）求证：面；（2）求证：面面；（3）求证：面；（4）求证：面面；（5）求三棱锥的体积。例2．如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且，（1）求证：四点共面；（2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：面解：（1）证明：在DD上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFDN1818是平行四边形，所以DF//CN，同理四边形

6、DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以CN//BE，所以DF//BE，所以四点共面。（2）因为所以∽MBG，所以，即，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB又平面ABBA⊥平面BCCB，且EM在平面ABBA内，所以面例3．（2006天津文，19）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱。（I）证明平面；（II）证明平面OEF⊥平面（II）设证明平面证明：（I）取CD中点M，连结O

7、M。在矩形ABCD中，又则连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形。又平面CDE，且平面CDE，平面CDE。（II）由（I）和已知条件，四边形EFOM为平行四边形。平面EFOM而，平面故，平面EFOM⊥平面即平面OEF⊥平面（III）连结FM。由（I）和已知条件，在等边中，1818且因此平行四边形EFOM为菱形，从而。平面EOM，从而而所以平面由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关定义及判定定理和性质定理．垂直问题的转化：面面垂直线面垂直线线垂直；BCDAME主要依据是有关定义及