平行关系 常见证明方法补课一

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1、平行关系常见证明方法（一）直线与直线平行的证明1)利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行2)利用三角形中位线性质3)利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。4)利用直线与平面平行的性质定理：bαβ如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。5)利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．6)利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。7)利用平面内直线与

2、直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。8)利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明1)利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。14141)利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。βαa2)利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（二）平面与平面平行的证明常见证明方法：1)利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平

3、面平行，则这两个平面平行。P2)利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等3)利用定义：两个平面没有公共点1414直线、平面平行的判定及性质基础自测1.下列命题中，正确命题的个数是.①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥;②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.2.下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）.①一个平面内的一条直线平

4、行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面3.对于平面和共面的直线m、n，下列命题中假命题是（填序号）.①若m⊥，m⊥n，则n∥②若m∥，n∥，则m∥n③若m，n∥，则m∥n④若m、n与所成的角相等，则m∥n4.已知直线a,b,平面，则以下三个命题：①若a∥b,b,则a∥;②若a∥b,a∥,则b∥;③若a∥,b∥,则a∥b.其中真命题的个数是.5.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B

5、1的中点.求证：MN∥平面AA1C1.答案1，12，①②③3.①②④4.05.证明设A1C1中点为F，连接NF，FC，∵N为A1B1中点，∴NF∥B1C1，且NF=B1C1，又由棱柱性质知B1C1BC，又M是BC的中点，∴NFMC，∴四边形NFCM为平行四边形.∴MN∥CF，又CF平面AA1C1，MN平面AA1C1，∴MN∥平面AA1C1.1414例1如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF∥平面ABCD.例2已知P为△A

6、BC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心.（1）求证：平面G1G2G3∥平面ABC；（2）求S△∶S△ABC.答案例1：证明方法一分别过E，F作EM⊥AB于M，FN⊥BC于N，连接MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN.又∵B1E=C1F，∴EM=FN，故四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN.又MN平面ABCD，EF平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.方法二过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，则

7、，1414∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴，∴FG∥B1C1∥BC，又EG∩FG=G，AB∩BC=B，∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.例2：（1）证明如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连接DE、EF、FD，则有PG1∶PD=2∶3，PG2∶PE=2∶3，∴G1G2∥DE.又G1G2不在平面ABC内，∴G1G2∥平面ABC.同理G2G3∥平面ABC.又因为G1G2∩G2G3=G2，∴平面G1G2G3∥平面ABC.（2

8、）解由（1）知=，∴G1G2=DE.又DE=AC，∴G1G2=AC.同理G2G3=AB，G1G3=BC.∴△G1G2G3∽△CAB，其相似比为1∶3，∴S△∶S△ABC=1∶9.1.如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1