第13课用导数研究三次函数的性质

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1、第13课用导数研究三次函数的性质【课前自主探究】※考纲链接（1）掌握三次函数的定义和解析式；（2）掌握用导数求三次函数的切线方程、单调区间、极值和最值；（3）能利用三次函数的图象和性质解决与三次函数有关的问题．※教材回归◎基础重现：1．三次函数的定义：形如的函数叫做三次函数．2．三次函数的几种表达式：（1）一般形式：；（2）已知函数的对称中心为，则；（3）已知函数图象与轴三个交点的横坐标，则；（4）已知函数图象与轴的一个交点的横坐标，则．3．三次函数的性质：，则的判别式．（1）函数的定义域为，值域为；（2）单调性：①

2、若，此时函数在上是增函数；②若，令两根为且，则在上单调递增，在上单调递减；（3）极值：①若，此时函数无极值；②若，且两根为且，此时函数在处取极大值，在处取极小值．基础重现答案：１．．2．（1）；（2）；（3）；（4）．3．（1）R，R；（2）①R；②，；（3）①，②，，，．◎思维升华：1．三次函数当且仅当时是奇函数？2．三次函数的图象11是对称图形吗？如果是，那么对称中心或对称轴是什么？思维升华答案：1．．2．图象关于点中心对称．证明如下：三次函数关于点（m，n）对称的充要条件是，即+，整理得，，据多项式恒等对应系数

3、相等，可得且=，从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是．※基础自测1．函数f（x）=（x+1）（x2－x+1）的导数是．答案：3x2．2．(2009•江苏)在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为．科网答案：（-2，15）解析：，又点P在第二象限内，，点P的坐标为（-2，15．3．过曲线y＝x3+x-2上的点P0的切线平行于直线y＝4x-1，则切点P0的坐标为．答案：(1，0)或(-1，-4)解析：∵y′＝3x2+1，令y′＝4，即3x2＝3．∴x＝±1．

4、∴P0为(1，0)或(-1，-4)．4．函数f(x)=x3＋x2－x在区间［－2，1］上的最大值和最小值分别是．答案：1，－2解析：∵f(x)=x3＋x2－x，∴f′(x)=3x2＋2x－1．令3x2＋2x－1=0，得x1=－1，x2=．∵f(－2)=(－2)3＋(－2)2－(－2)=－2，f(－1)=1，f()=－，f(1)=1，∴f(x)max=1，f(x)min=－2．5．（2010山东文数）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为.答案：

5、9万件解析：令导数，解得；令导数，解得，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以在处取得极大值，也是最大值．【课堂师生共探】※经典例题○题型一三次函数的图象和性质11例1（2010全国卷2文）（21）已知函数f（x）=x-3ax+3x+1．（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求的取值范围．分析：（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间．（2）求出函数的导数，在（2，3）内有极值，即为在（2，3）内有一个零点，即可根据，即

6、可求a出的取值范围．解：当时，，，当时，，在单调增加；当时，，在单调减少；当时，，在单调增加．综上所述，的单调增区间是．的单调减区间是．（II））．当时，，为增函数，故无极值点；当时，有两个根，由题意知，①或②①式无解，②式的解为，因此的取值范围是．点评：三次函数的单调性判定与一般函数一样，利用函数的导数来求解，求极值时，要注意函数取得极值时的充要条件．变式训练：已知函数f(x)=x3＋3x2＋9x＋a，（I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．11

7、解析：（I），解得x<－1或x>3所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II），于是有22＋a＝20，解得a＝－2．O4－3故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．○题型二三次函数的切线与恒成立问题例2（2010·天津卷文）已知函数f（x）=，其中a>0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围．分析：先求切点坐标，再利用导数求出切线斜率，可得

8、切线方程；再利用三次函数的图象求解函数的极值来解不等式．解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；=，=6．所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9．（Ⅱ）=．令=0，解得x=0或x=．以下分两种情况讨论：（1）若，当x变化时，，f（x）的变化情况如下表：X0+0-f(x)极大值当等价于1