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1、用导数研究三次函数一、知识点解析1、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数”。定义2、三次函数的导函数为二次函数:，我们把,叫做三次函数导函数的判别式。2、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间。2、对称中心三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。3、三次方程根的问题（1）当时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。（2）当△=
2、时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。此时：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。③若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。4、极值点问题若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x)(或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。当时，三次函
3、数在上的极值点要么有两个。当时，三次函数在上不存在极值点。5、最值问题。函数若，且，则：；。6、过三次函数上一点的切线问题设点P为三次函数图象上任一点，则过点P一定有直线与的图象相切。若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。7、过三次函数外一点的切线问题设点为三次函数图象外，则过点一定有直线与图象相切。可能有一条、两条或三条。（具体情况分析不作要求）8、类似于二次函数的图像和性质表：图像根的个数三实根两实根一实根一实根与x轴三交点两交点一交点一交点的交点单调性在和上为增函数
4、.，在上为减函数在R上为增函数极值有两个极值，一个极大值，一个极小值无极值二、经典题型一、考查函数的奇偶性和单调性例1已知函数f(x)=x3+px+q(x∈R)是奇函数，且在R上是增函数，则（）A、p=0,q=0B、p∈R,q=0C、p≤0,q=0D、p≥0,q=0解析由奇函数以及增函数的定义易知选D二、考查函数图象的对称性例2函数f(x)=x3-3x2+x-1的图象关于（）对称A、直线x=1B、直线y=xC、点(1,-2)D、原点解析由f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象关于成中心对称知选C例3、（2013课标全国，16）若函数的图像
5、关于直线x=-2对称，则的最大值为____________.解析：函数的图象关于直线x=-2对称，则解得a=8，b=5，所以可以解得的最大值为16。y三、运用函数的性质和数形结合思想解题例4已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（）A、b∈(-∞,0)B、b∈(0,1)xC、b∈(1,2)D、b∈(2,+∞)解析显然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x-1)(x-2)知a>0，又f(x)=ax3-3ax2+2ax比较系数可知b=-3a<0，故选A引申试确定的a,b,c,d符号（答：a>0,b<0,c>0,d=0）例5（2013
6、课标全国Ⅱ卷，10）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）（A）xα∈R,f(xα)=0（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C）若xα是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,xα）单调递减（D）若x0是f（x）的极值点，则解析：由三次函数值域为R知f(x)=0有解，A正确；由性质可知B正确;由性质可知若f(x)有极小值点，则由两个不相等的实数根,,则f(x)在（-∞,x1)上为增函数，在上为减函数，在（x2，,)上为增函数，故C错。D正确。选C。四、考查单调区间、极值、最值的问题例6（2010年全国卷Ⅱ文）已知
7、函数f（x）=x-3ax+3x+1。（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。解析：（2）求出函数的导数，在（2，3）内有极值，即为在（2，3）内有一个零点，即可根据，即可求出a的取值范围。五、考查交点个数问题例7（2009陕西文20）已知函数（I）求的单调区间；（II）若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.解：（1）当时，对，有所以的单调增区间为当时，由解得或，由解得，所以的单调增区间为，单调减区间为.（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得.由（1）中的
8、单调性可知，在处取得极大值1，在处取得极小值-3.因为直线与函数的图象有三个不同的交点，所以的取值范围是.点
