清华大学微积分高等数学课件第16讲定积分一

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1、P166习题6.21(1)(5).2(2).3(1)(3).4(4)(5).5(1).复习：P158—166作业预习：P168—1748/10/20211第十六讲定积分（一）二、定积分的概念三、可积性条件与可积类一、两个典型例子四、定积分的基本性质8/10/20212[例1]曲边形的面积问题一、两个典型例子曲边梯形8/10/20213(1)细分:(2)取近似：8/10/20214(4)取极限:(3)求和:8/10/20215[例2]变速直线运动的路程问题细分：(4)取极限:以匀速近似变速(2)取近似：

2、(3)求和：8/10/20216二、定积分的概念（一）黎曼积分定义：8/10/20217记作:积分上限积分下限称为积分区间定积分是:积分和式的极限[例1]曲边梯形的面积[例2]变速直线运动的路程8/10/20218（二）定积分的几何意义8/10/20219[证]8/10/202110[证]8/10/202111定理1：三、可积性条件与可积函数类证明思路：反证法。假设f(x)在[a,b]上无界，则至少在一个子区间上无界，所以黎曼和式无界，与和式极限存在相矛盾.定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分复杂，因

3、此想通过计算这个和式的极限来研究定积分，实际上是不可行的.另一途径是先研究其存在性，得到有关可积性的理论。8/10/202112定理3：定理4：定理2：8/10/202113四、定积分的基本性质定积分是一种极限，因此其性质与极限性质密切相关性质一：线性性质性质二：关于区间的可加性8/10/202114[注意1]定积分的值只依赖于被积函数和积分的上、下限，而与积分变量用什麽字母表示无关。即[注意2]定积分的定义中，下限a小于上限b，否则，做如下规定:关于区间可加性的推广8/10/202115性质三：积分

4、的不等式性质（证明：利用极限的保序性质）性质四：积分的保号性8/10/202116性质五：积分的不等式性质[注意]性质六：积分的估值性质8/10/202117性质七：积分中值定理性质八：广义积分中值定理8/10/202118平均高度函数平均值8/10/202119[证]由假设条件，可以证明8/10/2021208/10/202121[例1]8/10/202122线性可加性[证]8/10/202123[解]8/10/2021248/10/202125[证]利用估值定理8/10/202126[证]8/10

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