基于MATLAB的科学计算—插值方法

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1、科学计算—理论、方法及其基于MATLAB的实现与分析多项式函数与函数的最佳逼近§1　Interpolation(插值)１、问题的提出在工程地质测量、机械设计及其制造、信号分析等实践中，经常回遇到曲线的描绘或函数的确定问题，平面上的曲线方程可写成如下的形式　　　　　　　　　　　　　　（１）一般情况下，人们能够知道的或者说能够得到的只是曲线上的若干点，如通过测量可以得到曲线上　　　　　　　　　　　　（２）的个点，由于信息不全，这个点不足以确定其所在的曲线，因而人们退一步地希望在充分利用这些数据的前提下，确定一条“简单的”且与未知曲线“最接近”的曲线；此外，在科学研究和计

2、算中，往往回遇到复杂函数的分析与计算，有时用简单的函数来代替，可能会去掉不必要的麻烦而使问题比较容易地得到解决。只需对自变量做加、减法和乘法运算就能得到函数值是多项式函数显著的特点之一，因此，从计算的角度来说多项式函数是最简单的，因此，在函数最佳逼近方面，“简单的函数（曲线）”指的就是多项式函数（类）；　　所谓“最接近”或者严格地说最佳逼近，就是从指定的一类简单的函数中寻找一个和给定的函数“最贴近”的函数，从几何（空间）的角度看，函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数（点的集合）中寻找一个和给定的函数（定点）之间距离最短的函数（点）。函数空间中不同的距离度量确定了不

3、同的逼近准则，不同的逼近准则定义了不同的函数最佳逼近。　　在插值问题中，最基本的逼近准则是：在已知的全部点处，简单函数（插值多项式）与未知函数的函数值相等，即　　　　　　　　　（３）２、关于插值问题的基本定理41定理：给定个曲线上点，如果，互不相同，那么，在所有次数不超过次的多项式函数中，存在唯一的多项式函数，满足条件（３）。证明：次数不超过的多项式可写成　　　　　　　　　　　（４）的形式，要证明在所有次数不超过次的多项式函数中，存在唯一的多项式函数，满足条件（３），等价与证明线性方程组　　　　　　（５）即　　　　　　　　　　　（６）有唯一解，线性方程组（６）有唯一

4、解的充分必要条件是系数矩阵满秩，因为方程组（６）的系数矩阵是Vandomonder矩阵，满秩的充分必要条件是，互不相同，因此，当，互不相同时，存在唯一的次数不超过次的多项式满足条件（３）。３、构造插值多项式的方法１）一点说明可以通过解线性方程组（６），得到插值多项式（４）的系数，，但是方程组的“状态”不一定好！２）拉格朗日（Lagrange）插值法（１）首先考虑两个点的情况，求直线方程（即一次多项式）.点斜式直线方程：.两点对称式直线方程：.由两点式可知，是由两个线性函数的线性组合得到.这两个线性函数称为插值基函数，其性质为：.（２）考虑三个点的情况，求二次曲线方程

5、（即二次多项式）.41为了求出的表达式，可采用基函数方法，此时基函数、及是二次函数，且在节点上满足条件：.（5.5）满足条件（5.5）的插值基函数很容易求出，例如求，因为它有两个零点及，故可表示为，其中待定，可由条件确定.于是，.同理可求得及.因此，得抛物插值.进而，对于一般个点的情况，求次曲线方程（即次多项式）.（3）构造插值多项式的基函数　　　（７）（4）拉格朗日插值多项式　　　　　　　　　　　　（８）（5）简单的证明因为拉格朗日插值多项式的基函数有如下的性质：　　　　（９）所以拉格朗日插值多项式　　　　（１０）满足插值的条件。例1已知的函数值求的近似值.41解

6、1）用线性插值计算，因为在之间，故取两点，，则有线性插值，所以.2）用过三点的抛物插值计算，有，所以.【注】因为的近似值为0.6087614，，，所以抛物插值比线性插值精确.Lagrange插值的优缺点：Lagrange插值的优点是公式整齐对称，适合理论上的推导，并且计算机算法容易实现.Lagrange插值的缺点是计算上不太方便.若在上用近似，则其截断误差为，也称为插值多项式的余项(RemainderTerm).关于插值余项估计有下面定理.【定理2】设函数在上的阶导数连续，在内存在,是在处的次Lagrange插值多项式，则对中每一个点，存在依赖于的点使，（5.8）其

7、中.证明若是节点，公式（5.8）两边均等于零，结论成立.设由于在处，于是有，其中为与有关的待定函数.为了确定，作辅助函数.41显然都是的零点（共个），且.由Rolle定理，在这个点的每两点间至少有一个零点.再对应用Rolle定理，则至少有个零点且都在内.依此类推，在内至少有一个零点，使，即有.由插值余项（5.8），我们有下面结论.（1）次插值的误差估计为：，其中；（2）次插值的误差除与、有关外，还与节点的位置、个数有关；（3）当是次数不超过的多项式时，由于，因此，的次插值多项式就是它自身，即；（4）当1时，有.例2估计例1中与的误差.解由，有，.1）线性插值的误