第九章SECTION2线性空间与线性子空间

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1、§2线性空间与线性子空间一、线性空间[线性运算]设F是一个域，其元素a，b，c，…作为数量；V是任一种类对象的集，其元素用希腊字母α,β,γ,…表示.确定两个运算法则：1oV中元素的加法.对V中任二元素α，β，总有唯一确定的元素γ与它们对应，称为α与β之和，记作.2oF中的数量与V中元素的乘法.对F中任一数a与V中任一元α，总有唯一确定的元素δ与它们对应，称为a与α的数乘，记作这两个运算法则称为线性运算.[线性空间及其性质]设F是一个域，V是任一种类对象的集，若对线性运算满足以下条件，则称V为域F上的线性空间：(i)V是一个加法群；(ii)对任意元a∈F与α∈V，对应着

2、唯一确定的一个元(iii)满足分配律和结合律，即对有域F的元素称为线性空间的数量，V的元素称为它的矢量，因而线性空间又称矢量空间.加法群的单位元称为零矢量，记作0，（-1）α是α∈V的逆元，称为负矢量.实数域上的线性空间称为实线性空间；复数域上的线性空间称为复线性空间.例1三维空间中的矢量全体组成一个实线性空间.例2数域F上的多项式环F[x]，按照通常的多项式加法与多项式乘法，组成数域F上的线性空间.例3元素属于数域F的m×n矩阵，按照矩阵的加法和矩阵与数的乘法，组成数域F上的线性空间.例4按照通常的加法和乘法，实数全体是实数域R上的线性空间.复数全体是复数域C上的线性

3、空间.任一域是用自己当作数量域的线性空间.例5把在一个实区间（a，b）中定义的每个连续实函数当作一个元素，任意两个元素f与g的和记作，是在中定义的一个连续实函数，它在每一点x的值规定为又把一个元素f乘实数c所得到的元素规定为则这些元素全体组成一个实线性空间.线性空间有以下性质：1o零矢量是唯一的.2o负矢量是唯一的.3o.4o若则c=0或α=0.[线性相关与线性无关]域F上的线性空间V中一组有限个矢量,如果对,仅当时等式才成立，则称矢量组为线性无关，否则称为线性相关.若矢量组线性相关，则其中至少有一个矢量是其余矢量的一个线性组合：含零矢量0的任一组矢量是线性相关的.假定

4、域F上的线性空间V上又定义了收敛性（第二十一章，§3，四）,V中一组无限多个矢量,如果对F中的仅当时等式才成立，则称矢量为线性无关，否则称为线性相关.[基底与坐标]域F上的线性空间V中一组矢量如果满足(i)是线性无关的;(ii)V中任一矢量都是矢量的一个有限线性组合；则称为V的一个有限基底，也称生成（或张成）这个空间，为空间的一组生成元.设为V的一组基底，则V中任一矢量α一定可以用的线性组合来表示：式中复数是唯一确定的，它称为矢量α关于基底的坐标.如果V有一个有限基底，就称V是一个有限维线性空间，否则，称为无限维空间.有限维线性空间V的基底的矢量个数称为V的维数，记作.

5、[第一维数定理]域F上有限维线性空间V的任意两个基底有相同个数的元素.推论设为一个n维线性空间V中一组线性无关的矢量，显然，则在V中存在一个基底使得是它的一部分.一、线性子空间[线性子空间]设S是域F上线性空间V的一个非空子集，若S对于V的线性运算也构成线性空间，则称S为V的一个线性子空间，简称为子空间.设S是域F上线性空间V的一个子集，若关于线性运算是封闭的，即(i)若则；(ii)若,则；则S是V的子空间.例如，在线性空间V中的单个零矢量所组成的子集是V的一个子空间，称为零子空间.V本身也是V的一个子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间.设为域F上线性空间V中的一组矢

6、量，这组矢量的一切线性组合构成V的一个子空间，称为由生成（或张成）的子空间.这是V的非平凡子空间.[子空间的交与和]设S，T是域F上线性空间V的子空间，属于S又属于T的V中一切矢量所构成的子集称为S与T的交（通集），记作.由能表示为的一切矢量构成的子集称为S与T的和（和集），记作（或）.设S与T是F上线性空间V的两个子空间，则S与T的交以及和都是V的子空间.[第二维数定理]设S与T是线性空间V的两个子空间，则（这里表示线性空间V的维数）.推论若n维线性空间V中两个子空间S与T的维数之和大于n，则S，T必含有公共非零矢量.例如，三维空间中两个不同平面（二维子空间）交于一条

7、直线，由于，但，所以.[子空间的直和]设是线性空间V的子空间，若和中每个矢量α的分解式是唯一的.这个和就称为直和，记作子空间的直和具有以下性质：1o和是直和的充分必要条件是：仅当全为零矢量时才成立.2o和是直和的充分必要条件是：Φ（空集）3o设是线性空间V的子空间，若则其逆也真.这表明对于子空间的直和，维数是可加的.由此可见，若把子空间的基合并起来就得到子空间W的一组基.[商空间]设S是V的一个子空间，并设两个矢量，若，则说和是等价的，记作.实际上，这个关系具有等价关系的三个性质：(i)反身性对每个，有；(ii)对称性若，则；(iii)传