第十四章傅里叶级数

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1、第十四章傅里叶级数§1三角级数与傅里叶级数1．证明(1)，，，，是上的正交系；(2)，，，，是上的正交系；(3)1，，，，，是上的正交系；(4)1，，，，，不是上的正交系；2．求下列周期为的函数的傅里叶级数：(1)三角多项式；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10).3．设以为周期，在绝对可积，证明：(1)如果函数在满足，则；(2)如果函数在满足，则.§2傅里叶级数的收敛性1．将下列函数展成傅里叶级数，并讨论收敛性：(1)；(2)；2．由展开式，(1)用逐项积分法求

2、，，在中的傅里叶展开式；(2)求级数，的和.3．(1)在内，求的傅里叶展开式；(2)求级数的和.4．设在上逐段可微，且.，为的傅里叶系数，，是的导函数的傅里叶系数，证明：，，.5．证明：若三角级数中的系数，满足关系，M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数.6．设，求证：.7．设以为周期，在上单调递减，且有界，求证：.8．设以为周期，在上导数单调上升有界.求证：.9．证明：若在点满足阶的利普希茨条件，则在点连续.给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子.10．设是以为周期的函数，在绝

3、对可积，又设是的傅里叶级数的前n项部分和，则，其中是狄利克雷核.11．设是以为周期，在连续，它的傅里叶级数在点收敛.求证：.12．设是以为周期、连续，其傅里叶系数全为0，则.13．设是以为周期，在绝对可积.又设满足存在.证明.进一步，若在点连续，则，其中.§3任意区间上的傅里叶级数1．将下列函数在指定区间上展开为傅里叶级数，并讨论其收敛性：(1)在区间展开(2)；(3)；(4)2．求下列周期函数的傅里叶级数：(1)；(2).3．把下列函数在指定区间上展开为余弦级数：(1)；(2)4．把下列函数在指

4、定区间上展开为正弦级数：(1)(2).5．把函数在上展开成余弦级数，并推出.6．将函数分别作奇延拓和偶延拓后，求函数的傅里叶级数，其中7．应当如何把给定在区间的可积函数延拓到区间内，使得它在中对应的傅里叶级数为：(1)；(2).§4傅里叶级数的平均收敛性1．若,以为周期，在平方可积，，，则.2．设在上平方可积，求证：，其中.