傅里叶(Fourier)级数

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1、一、问题的提出二、三角级数三角函数系的正交性三、函数展开成傅里叶级数第七节傅里叶(Fourier)级数四、正弦级数余弦级数本节研究由三角函数组成的级数——三角级数在实际问题中，有很多周期运动，数学上用周期函数来描述和研究它们，其中正弦函数是一种最常用而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数一、问题的提出对于反映较复杂周期运动的非正弦周期函数，能否用较简单的周期函数（三角函数）组成的级数来表示和讨论呢？可用以下不同频率正弦波逐个叠加：类似于函数的幂级数展开，例如矩形波非正弦周期函数用正弦函数组成的级数表示一般地，函数可表示为物

2、理意义：把一个比较复杂的周期运动看作许多不同频率的简谐振动的叠加.电工学上，这种展开称为谐波分析.二、三角级数三角函数系的正交性1.三角级数称为三角级数，2.三角函数系的正交性三角函数系三、函数展开成傅里叶级数问题:1.若能展开,系数是什么?2.展开的条件是什么?1.傅里叶系数上式两边积分，由正交性两边同乘以再积分，得两边同乘以再积分，得f(x)的傅里叶系数傅里叶级数2.傅里叶级数的收敛性问题:若周期为的函数可积，则(1)连续或只有有限个第一类间断点，狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)则f(x)的傅里叶级数收

3、敛,并且设是以为周期的周期函数.如果它满足在一个周期内:(2)至多只有有限个极值点,注函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.则f(x)的傅里叶级数收敛,并且(1)当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x);(2)当x是f(x)的间断点时,级数收敛于解所给函数满足狄利克雷充分条件.例1为周期的矩形脉冲的波形将其展开为傅里叶级数.以和函数图象为所求函数的傅氏展开式为3.非周期函数的傅里叶展开作法:如果函数只在区间上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数.解所给函数满足狄利克雷充分条件.延拓的周期函数的

4、傅氏级数展开式在收敛于例2展开为傅里叶级数.将函数所求函数的傅氏展开式为*4.可以利用傅氏展开式求数项级数的和进一步，若记四、正弦级数余弦级数只含有正弦项的傅里叶级数，称为正弦级数(或只含有常数项和余弦项)(或余弦级数).正弦级数余弦级数傅氏级数定理展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为当周期为的奇函数（偶函数）同理可证(2).偶函数定理证毕.奇函数证明因此如果为奇函数,傅氏级数称为正弦级数.如果为偶函数,傅氏级数称为余弦级数.解所给函数满足例4成傅氏级数.是周期为的周期函数,它在设上的表达式为将展开狄利克雷充分条件.和函数图

5、象观察两函数图形解所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个数轴上连续.例5展开成傅氏级数,其中是正常数.将周期函数对于非周期函数，实施奇（偶）延拓后就可以展开成正弦级数或余弦级数.则有如下两种情况奇延拓:偶延拓:解(1)求正弦级数.将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.例6(2)求余弦级数.1.傅里叶级数；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件；4.非周期函数的傅氏展开式；傅氏级数的意义——整体逼近小结5.奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;小结傅氏级数的意义——整体逼近小结傅氏级数的意义——整体逼近小结傅氏级数的意义——

6、整体逼近小结傅氏级数的意义——整体逼近小结傅氏级数的意义——整体逼近小结傅氏级数的意义——整体逼近小结傅氏级数的意义——整体逼近小结傅氏级数的意义——整体逼近小结傅氏级数的意义——整体逼近小结傅氏级数的意义——整体逼近小结傅氏级数的意义——整体逼近小结傅氏级数的意义——整体逼近小结傅氏级数的意义——整体逼近小结傅氏级数的意义——整体逼近思考题思考题解答2.函数是周期函数在一个周期上的表达式，在x=0处其傅里叶级数收敛于？答：因x=0是函数的间断点，故收敛于作业习题11-7p.2501.(3);2.(2);3;6.练习题练习题

7、答案