第十五章傅里叶级数

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1、SF01（数）Ch15Fourier级数计划课时：12时206Ch15Fourier级数（12时）§1Fourier级数（6时）一．三角级数：1．背景：⑴波的分析：频谱分析.基频().倍频.⑵函数展开条件的减弱:积分展开.⑶中用Descates坐标系建立坐标表示向量思想的推广:调和分析简介:十九世纪八十年代法国工程师Fourier建立了Fourier分析理论的基础.2.三角级数的一般形式:一般的三角级数为.由于,设,得三角级数的一般形式3.三角级数的收敛性:Th1若级数收敛,则级数在R内绝对且一致收敛.证用M判别法.二.三角函数正交系统

2、:1.内积和正交:由R中的内积与正交概念引入.设函数和在区间上(R)可积.定义内积为206.当时,称函数和在区间上正交.函数的正交性与区间有关.例如函数和在区间上并不正交(因为),但在区间却是正交的.2.正交函数系统:标准正交系(幺正系),完全系.3.三角函数正交系统:三角函数系统是区间上的正交系统.验证如下:,;,对且,有和.该系统不是标准正交系,因为,.因此,三角函数系统206是标准正交系.（与R中的坐标系比较）二.以为周期函数的Fourier级数：1．三角级数的系数与其和函数的关系：Th2若在整个数轴上且等式右端的级数一致收敛，则

3、有如下关系式，，证[1]P842．Fourier系数和Fourier级数：Euler―Fourier公式：设函数在区间上（R）可积，称公式，，为Euler―Fourier公式.称由Euler―Fourier公式得到的和为函数的Fourier系数.并称以Fourier系数和为系数的三角级数为函数的Fourier级数,记为～例1,.求函数的Fourier级数.206解是上的奇函数,;.因此,～.例1设函数满足条件(称满足该条件的函数为反周期函数).问这种函数在区间内的Fourier系数具有什么特性.解.而.因此,.时,,;同理得.Ex

4、[1]P922，4，5，6.二.收敛定理:1.按段光滑函数:.定义若的导函数在区间上连续,则称函数在区间上光滑.若函数在区间上至多有有限个第一类间断点,且仅在区间上有限个点处不连续且为第一类间断点,则称是区间上的按段光滑函数.按段光滑函数的性质:设函数在区间上按段光滑,则206⑴在区间上可积;⑵对,都存在,且有,.(用Lagrange中值定理证明)⑶在区间上可积.2.收敛定理:Th3设函数是以为周期的周期函数且在区间上按段光滑,则在,的Fourier级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值,即,其中和为函数的Fourier系数.(证明放到

5、以后进行)系若是以为周期的连续函数,在上按段光滑,且则的Fourier级数在内收敛于.3.函数的周期延拓:二.展开举例:例3把函数展开为Fourier级数.解参阅例1,有例4展开函数.206解;.函数在上连续且按段光滑,又,因此有.(倘令,就有,)例5设求函数的Fourier级数展开式.[1]P88E1.例6把函数展开成Fourier级数.[1]P89E2例7在区间内把函数展开成Fourier级数.解法一(直接展开);;.206函数在区间内连续且按段光滑,因此有,.由于,该展开式在上成立.(在该展开式中,取得,;取,.)解法二(间接展开

6、:对例3中的展开式作积分运算)由例3,在区间内有.对该式两端积分,由Fourier级数可逐项积分,有.为求得,上式两端在上积分,有,因此,,.Ex[1]P921，3.206§2以为周期的函数的展开式（2时）一.以为周期的函数的Fourier级数:设函数以为周期,在区间上(R)可积.作代换,则函数以为周期.由是线性函数,在区间上(R)可积.函数的Fourier系数为..,,～还原为自变量,注意到,就有～其中,,当函数在区间上按段光滑时,可展开为Fourier级数.註三角函数系是区间上的正交函数系统.例1把函数展开成Fourier级数.[1

7、]P94E1二.正弦级数和余弦级数:1.区间上偶函数和奇函数的Fourier级数:2061.奇展开和偶展开:例1设,.求的Fourier级数展开式.[1]P97E2例2把定义在上的函数(其中之一展开成正弦级数.[1]P98E3例3把函数在内展开成:ⅰ>正弦级数;ⅱ>余弦级数.[1]P99E4Ex[1]P1011⑴⑷，2，3，4.§3收敛定理的证明Dini定理设以为周期的函数在区间上按段光滑,则在每一点,的Fourier级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值,即,其中和为的Fourier系数.证明思路:设～对每个,我们要证明.即证明.方法

8、是把该极限表达式化为积分,利用Riemann—Lebesgue定理证明相应积分的极限为零.206施证方案:1.写出的简缩形式.称这一简缩形式为的积分形式,或称为Dirichlet积分,即.利用该表示式,式可