whx第十五章傅里叶级数

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1、第十五章傅里叶级数§1傅里叶级数§2以2l为周期的函数的展开式§3收敛定理的证明§1傅里叶级数首页×一、三角函数·正交函数系在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动。最简单的周期运动，可用正弦函数来描写。(1)由（1）所表达的周期运动也称为简谐振动，其中为振幅，为初相角，为角频率，于是简谐振动的周期是。所以函数（2）的周期为。对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数的叠加2）（由于简谐振动的周期为较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动若级数（3）收敛，则它所描述的是更为一般的周期运动现象。

2、对于级数（3），只要讨论（如果，可用代替）的情形。由于所以记则级数（3’）可写成（3）（3’）它是由三角函数列（也称为三角函数系）1，，，，，…，，…（4）所产生的一般形式的三角函数。容易验证，若三角级数（4）收敛，则它的和一定是一个以为周期的函数。证对任何实数，由于应用魏尔斯特拉斯判别法（定理13.5）就能推得本定理的结论。□。为进一步研究三角级数（4）的收敛性，先探讨三角函数系（5）具有哪些特性。首先容易看出，三角函数系（5）中所有函数具有共同的周期.关于三角级数（4）的收敛性有如下定理：定理15.1

3、若级数收敛，则级数（4）在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。其次，在三角函数系（5）中，任何两个不相同的函数的乘积在上的积分都等于零，即（6）（7）而（5）中任何一个函数的平方在上的积分都不等于零，即（8）通常把两个函数可积，且的函数与称为在上是正交的。三角函数系（5）在上具有正交性，或说（5）是正交函数系。应用三角函数系（5）的正交性，讨论三角函数（4）的和函数与级数（4）的系数，，之间的关系。定理15.2若在整个数轴上且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：（9）（10a）（10b）证由定理条件，函数在逐

4、项积分得且可积。对（9）式上连续二以为周期的函数的傅里叶级数由关系式（6）知，上式右边括号内的积分都等于零。所以即得现以乘（9）式两边（为正整数），得（11）从第十三章§1习题4知道，由级数（9）一致收敛，可推出级数（11）也一致收敛。于是对级数（11）逐项求积，有由三角函数的正交性，右边除了以为系数的那一项积分外，其他各项积分都等于0，于是得出（同理，（9）式两边乘以，并逐项求积，可得若是以为周期且在上可积的函数，则可按公式（10）和，它计算出们称为函数（关于三角函数系数）的傅里叶系数，的傅里叶系数为系

5、数的三角级数（9）称为（关于三角函数系）的傅里叶级数，记作以（12）这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数。由定理15.2知道：若（9）式右边的三角级数在整个数轴上一致收敛于其和函数，我们知道，若的导函数在上连续，则称在上光滑。但若上除了至多定义在有有限个第一间断点的函数的导函数在上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数右极限存在，则称的左、在上按段光滑。根据下述定义，若函数上按段光滑，则有如下重要性质：在三收敛定理定理15.3若以为周期的函数在上按段光滑，则在每一点的傅里叶级数（

6、12）收敛于在点的左、右极限的算术平均值，即其中为的傅里叶系数。，3在补充定义在上那些至多有限个不存在点上的值后（仍记为上可积。从几何图形上讲，在区间上按段光滑函数，是由有限个光滑弧段所在),1在上可积。2在上每一点都存在，且有：（13）组成，它至多有有限个第一类间断点与角点（图15－1）收敛定理指出，f的傅里叶级数在点x处收敛于这一点上的左、右极限的算术平均值；而当在点x连续时，则有,即此时f的傅里叶级数收敛于。于是有如下推论。推论若f是以为周期的连续函数，且在上按段光滑，则的傅里叶级数在上收敛于。根据

7、收敛定理的假设，是以为周期的函数，所以系数公式（10）中的积分区间可以改为长度为的任何区间，而不影响，的值（10’）其中为任何实数。注意在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时，常只给出函数在（或）上的解析表达式，但应理解为它是定义在整个数轴上以为周期的函数。即在以外的部分按函数在上的对应关系作周期延拓。如为上的解析表达式，那么周期延拓后的函数为如图15－2所示。因此说函数f的傅里叶级数就是指函数的傅里叶级数。例1设求的傅里叶级数展开式。解函数及其周期延拓后是按段光滑的，故由定理15.3（收敛定理），它可以展开

8、成傅里叶级数。由于当时，所以在开区间上在时，上式右边收敛于例2把下列函数展开成傅里叶级数解f及其周围延拓的图形是按段光滑的，因此它可以展开成傅里叶级数。在（10’）中令c=0来计算傅里叶系数如下所以当时，当时，由于所以（14）当或时，由于因此（15）由（14）或（15）都可推得