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1、第湖北师范学院学报自然科学版卜卷,第期幻翻等周不等式问题程功祥,证法川的一般性首先给出一个直接证明然后将等周不等式摘要对等周不等式的将定理从两方面推广光滑曲线推广到分段光滑曲线将简单闭曲线推广到任意闭曲线关锐词闭曲线、简单曲线、光滑曲线、拟星形线。,。当曲线成成的起点和终点重合时叫做闭曲线如果曲线自身,,,,
2、,,,。不相交即当护分别为除外时就有笋叫做简单曲线其方程中的函,数都具有连续导函数的曲线称为光滑曲线现在的问题是所有等周长的平面简单光滑闭曲线,。中什么曲线所围成的面积最大下述所谓等周不等式定理回答了这个间题。定理在具有定长的一切平面简单光滑闭曲线中以圆的面积为最大换句话说若,是一条长为的平面简单光滑闭曲线围成的面积则有二镇二即一式中等号当且仅当为圆时成立。本证法需要用到下列引理。,。引理设是周期为二的连续周期函数而
3、且导函数也连续若’,‘,“一则式‘‘’〔‘“〔“,〕“‘上上,式中当且仅当一,比爪是常数。时等号成立,。。这个引理的证明见〔〕或【幻下面给出定理的两种一般证法,证法使,轴过曲线的重心建立坐标系。砂并设长为的曲线以弧长为参数的方程是,,夕。占簇簇,,,因曲线是光滑的所以函数“‘犷一犷。都具有连续导函数对方程作参数变换一占成二一云,、一、一一劣一一子一
4、一“一’一叮,、得曲线的方程为,一、一一”“簇“的‘一,一‘’云,丫叮十二,一一乳乃所以不卜成鑫。,。是以为周期的函数且具有连续导函数又因为曲线犷,的重心在轴上由计算重心坐标的公式可知劣名‘丈二由引理得,’’,〕‘介而俪拭而式中当且仅当谷儿时等号成立。,,〕一’一’’〔会蠢瓮蠢’,,一一加一万百一甸面会豁二亩‘,‘〕,,
5、,一万丁”‘百由面积公式得,,一‘怀,减去再由得,,,、,,、八户一一广愁下了。万‘“汀一二一乙气,一母少万‘‘一一犷一“一乙汀一,,由和可知要上式等号成立当且仅当劣夕,夕‘姗十之、了‘、曰劣封习十几。。。。一是任意常数’’,,。十犷一十可见曲线是圆。证法在进行证法之前我们先叙述拟星形线的概念定义若平面简单闭曲线
6、围成的区域内存在一。,,点对于曲线上的任意点线段都整个地位于内。则称曲线为拟星形线点称为拟星形线的中心图,。当曲线是拟星形线时有下列证法以拟星形线的中心为位似中心作的位似曲线使得旅一口民一鼠虱轰。、。、、。、。,、其中分别为上共线的固定点分别、、、。为上共线的任意点图显然有占一二上二,汀。’夕一汀““了,,可见当曲线的弧长参数由变到时曲线的弧长参数由。变到兀即曲线的长是。使轴过曲线的重心建
7、立直角坐标系。,设在这个坐标系下的方程为,,二,少毛。毛二由重心坐标的计算公式可知加而钓长和围成的面积分别为‘,‘汀一万歹‘“一奋歹万丈丈由此得‘22’2汀一“)一(‘一万)‘+(‘一‘)‘万(7)戈丈nr,,,根据wirti朗引理上式右端第一个积分大于或等于零而第二个积分显然大于或等于零所以有A簇二(8)由曲线C和C在极坐标系下的面积公式得A一p’勺。一d0合厂音广(知)一粼合丈谕)一奈由(8)和上式得(9)(9)就是等周不等式(1),,由(8)和(7)可
8、知(9)中等号成立当且仅当‘,x二aeoss+bsi:召歹二劣即当且仅当:,二。cos。+乙。‘,。犷一。51:s一加05。。(c+是任意常数):2+(夕一e)2一aZ+b,(10),,。r~二若设曲线C在坐标系叼下的方程为丈妇则_L一L一劣一声℃。SU蕊二二PcoSU言二2~~‘拜‘万._L一L一夕~PS番nU=石二P泞鑫nU=万二歹‘‘77‘代入(10)得图31LC、2L2,‘‘劣十【夕一下,声一“了写(a十
