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《Bonnesen等周不等式的一个初等证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、了夕勺。今、叻叭的叻的的的高等数学园地心尹。‘勺。勺马的的的的叻的少等周不等式的一个初等证明陈国治,锦州师范学院锦州,,摘要本文给出等周不等式的一个初等证明它不涉及积分几何理论浅显易是长的,,等周不等式设平面简单闭曲线是所围成的面积则,亡立一汀等号当且仅当是圆周时成立,圆周围这个等周不等式不仅说明了等周长的所有平面简单闭曲线中成的面积最大,,乙等面积的所有平面单连通区域中圆的边界最短而且说明了周长与面积
2、之间、,,,,,、二,。,、,、,,曰。。、卜,一一,一一一一的关系即周长的一平面简’一单闭曲线一所’一’围‘的面积不超过面积汉的单连’通’区域一的’”一一”一一兰一一一一”””边界长不小于了万石,不等式通常称为古典等周不等式还导出更加精密的等周,通常称为,不等式等周不等式它是一“孰“,母于一,,其中是的外圆半径即把包在内的最小圆的半径是的内圆半径即被包
3、在内的最大圆的半径,,,从不等式可立即推得且从还看出当且仅当即外圆与内圆重,,合亦即本身是一个圆时中等号成立〕下面给出不等式,关于不等式的证明见文〔或〔的尸个初等证明它,,,不涉及积分几何知识浅显易懂为清楚起见先叙述四个引理然后给出不等式的证明。,,,引理设尸是一条折线是半径为,且与相交包括相切的圆的圆心集合,仇是中那些与恰好有及个交点的圆的圆心集合则,的面积,和的长之间的关系为···,十
4、用归纳,,,证法首先假设的边数为即它是一条长的直线段则圆与它只能,,小,。,交于一个点或两个点用分别表示相应的圆心集合用分别表示它们的,,工面积设集合是由的矩形两端带着半径的半圆所组成的和表示矩形,君中平行于的两条边和表示圆心在直线段的端点且半径为的两个圆图、,一,则有,夕,一一自肘,条一月一,、,,线段和的面积为无论两个圆和相交图相切或相离的面积加肠
5、的面积都正好等于两个,的矩形的面积,即上两个一,尸的,故当边数为时成立,,的折线尸,其次假设对于边数为成立加上一条边就得到一条边数为洲,的折线’我们要证明半径为且与’恰好有仓个交点的圆的圆心集合飞的面积飞和’的长’也满足··,域成不十一’,、,由上述知道单独对于一条边来说成立现将两式相加它们的右边相,,加得’这与匀的右边相同故剩下的问题只要证明它们的左边相加’后与
6、,与边数为。的折线,它与边数为,十的左边相同事实上户洽有天个交点的圆的折线’的交点数目有三种可能一是及个这时与不相交二是反十个这时与有一个交点三是天个这时与有两个交点可见,中的点可以分成三,、,个部分一是属于记为二是属于也属于的点记为树飞的点飞,,〔自杖,,,,三是属于飞也属于小的点记为以它们的面积相应地记为针,则的左边可改写为·汪左,刁
7、才才才才才才⋯翼,,,,,若将中属于民中属于‘的点的集合分别记为乳而它们的面积相应地,,,记为内则的左边可改写为,才,,之,,,十十十⋯十才⋯,将相加得·、、、。、刀十十十⋯、、,,,。,,因为斌瓜十禹十几式十透十儿二⋯故与的左边一致于是对于任意折线都
8、成立引理对于多边形闭折线,的面积引理中集合必满足,毛尸只有一个交点的圆,证半径为且与必与的边相切或过的一个顶点它的圆,,!心必在直线段上或圆弧上因此是由直线段和圆弧组成的其面积这样由(3)得知··,。2,;~汉~双成十月十/1+⋯)攫2建+3刀十4理十一4吭.故(9)成立.设简单多边形尸的周长为L,,、,,R,则引理3面积为A内外圆的半径分别为,,对于任意正数戊LR〕都有:乙)才+,:,.10()..,,证只要对凸多边形证明不等式(1的成立因为若
