完全平方数(上)

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1、2008年第l0期5●数学{菅动课程讲屋●乎数(上)／I冯跃峰(广东省深圳市高级中学,518040)(本讲适合初中)综上所述，满足条件的一切正整数对完全平方数是一类常见的特殊自然数．(，y)共有5+22=27对．本文介绍涉及完全平方数的问题的常用解题例2设完全平方数Y是l1个相继整方法．数的平方和．则lYI的最小值是——．解：设11个相继整数中间的一个数为1利用完全平方数的因数特征．则完全平方数的因数具有如下特征：Y兰(一5)+(一4)+⋯++⋯+(1)17,的标准分解式中，每个质因数的(+4)+(+5)指数都是偶数．=+2(+l)+2(x+22)+⋯+2(x5)(2)若=口b(0、b是整数)

2、为完全平=1l+2(1+2+3++5。)方数，则b为完全平方数．=11(+10)．、(3)若／3,=ab(0、b是互质的整数)为完因为11(+10)为平方数，而l1为质全平方数，则。、b都为完全平方数．数，所以，11l(+10)．例1设N=23x+92y为完全平方数，从而，+101>11，且Ⅱ≥1．且Ⅳ不超过2392．则满足上述条件的一切故Y=11(+10)≥112，即IYl≥11．正整数对(，y)共有——对．等号在=1时成立．(2002，全国初中数学联赛)故lYI的最小值为l1．分析：注意到23I92，从而，23x+92y含注：此题改编自1998年全国初中数学联有质因数23．由此可构造不定方

3、程，进而利赛试题．原题是求Y的最小值，但用它作为用不等式控制(Ⅳ不超过2392)求解．初中数学竞赛试题则值得商榷．尽管已得到解：因为N=23(+4y)，而23为质数，lYI≥11，即Y≤一11或Y≥11，由此断定Y所以，存在正整数k，使+4y=23k．的最小值是一11(原答案)是没有充足理又因为23(+4y)=N≤2392，所以，由的．+4≤104．实际上，由y=11(+lO)为平方数，可故23k=+4y≤104，即k≤4．知+10=llk(kEN)，此时，Y=±11k．于是，k=1，4．若方程+10=l1k只有有限个整数解，设当k=1时，+4y=23，此时，Y≤5，可其使k最大的一个解为(。

4、，k。)，则Y的最得到5个解；小值为一llk；若方程+10=llk有无限当k=4时，+4y=92，此时，’，≤22，个整数解，则Y的最小值不存在．显然，讨论可得到22个解．方程+10=11k的所有整数解的问题，超出了初中数学竞赛的知识范畴．收稿日期：2008—05—306中等数学此外，方程+10=1lk两边模l1，得舍去．11f(+l0)，从而，11f(一1)．(4)当>2，且为偶数时，因为0=所以，11l(一1)或l1I(戈+1)．塑：要(51l一9)为质数，而喜>当l1I(—1)时，取=23符合条件，此二二二l，所以，511—9k=1．但511—9k=1无整数时，=7，对应的Y=土77．当

5、1lI(+1)时，取=43符合条件，此解，舍去．时，=13，对应的Y=±143．综上所述，：251，b=7．注：此解答是由笔者的学生杨杰锋给出由此可见，y：一11显然是错误的．的，比“评分标准”中的解答简单得多．例3设n为质数，b为正整数，且9(2a+b)=509(4a+511b)．2利用完全平方数的数字特征求口、6的值．在完全平方数n的十进制表达式中，其(2008，全国初中数学联赛)分析：由条件“o为质数”可发现题中含数字具有如下一些特征：(1)n的个位数字为0、1、4、5、6、9．有另一质数509，而等式左边为平方数，可利用完全平方数的因数特征求解．(2)儿。的十位数字为奇数，当且仅当n解

6、：因为9(2a+6)=3(2口+b)为完的个位数字为6．全平方数，所以，509(4a+511b)为完全平方(3)凡。的个位数字为5，则n的十位数数．而509为质数，可令字为2．4a+5116：509X3。．①上述特征可概括为：完全平方数的末两于是，原等式变为位只能是、、、之一．9(2a+b)=5O92×3

7、i}．例4如果一个完全平方数最后3位数即2a+b=5o9J}．字相同且不为0，求该数的最小值．从而，b=509k一2a．代人式①得解：因为完全平方数的末两位只能是4口+511(509k一2口)：509X3．偶0、偶1、偶4、孺9、25、奇6之一，所以，完全平方数的末三位只能是444．又444

8、不是平方解得n=2’数，所以，n≥l444．而1444：38z为完全平因为口为质数，即旦为质数，方数，故最小的完全平方数是1444．例S有一个四位数所以，有以下几种情况：N=(0+1)n(口+2)(0+3)，(1)当：1时，口：：它是一个完全平方数．求o．=251为质数，符合条件，此时，解：注意到完全平方数的个位数字只能b=509k一2a=509—502：7．是0、1、4、5、6、9，则(2)当I