.1函数与极限

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1、第一章第一节：映射与函数教学内容：一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定：空集为任何集合的子集.2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,以上为有限区间、无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域:4.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称

2、为常量,而数值变化的量称为变量.注意：常量与变量是相对“过程”而言的.常量与变量的表示方法：通常用字母a,b,c等表示常量,用字母x,y,t等表示变量.5.绝对值:运算性质:绝对值不等式:二、函数概念定义设和是两个变量,是一个给定的数集，如果对于每个数,变量按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作自变量因变量数集D叫做这个函数的定义域函数的两要素:定义域与对应法则.对应法则f约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．定义

3、:几个特殊的函数举例(1)符号函数(2)取整函数y=[x]，[x]表示不超过x的最大整数(3)狄利克雷函数(4)取最值函数在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.三、函数的特性1．函数的有界性:2．函数的单调性:xyoxyo3．函数的奇偶性:4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.四、反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.五初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。图1-1（1）幂函数它的定义域和值域依的取

4、值不同而不同，但是无论取何值，幂函数在内总有定义。当或时，定义域为。常见的幂函数的图形如图1-1所示。（2）指数函数它的定义域为，值域为。指数函数的图形如图1-2所示．（3）对数函数定义域为，值域为。对数函数是指数函数的反函数。其图形见图1-3。在工程中，常以无理数e＝2.718281828…作为指数函数和对数函数的底，并且记，而后者称为自然对数函数。（4）三角函数图1-3图1-2三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。图1-4（5）反三角函数反三角函数主要包括反正弦函

5、数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数等．它们的图形如图1-5所示。（6）.常量函数为常数（为常数）定义域为，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示。通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。图1-5例如，，…都是初等函数。初等函数虽然是常见的重要函数，但是在工程技术中，非初等函数也会经常遇到。例如符号函数，取整函数等分段函数就是非初等函数。在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的。图1-6