江苏省2019届高考数学专题二立体几何2.3专题提能—“立体几何”专题提能课达标训练

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1、“立体几何”专题提能课A组——易错清零练1.设l,m表示直线,m是平面α内的任意一条直线.则“l⊥m”是“l⊥α”成立的____________条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个).解析:由l⊥m,m⊂α,可得l⊂α,l∥α或l与α相交,推不出l⊥α;由l⊥α,m⊂α,结合线面垂直的定义可得l⊥m.故“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件.答案:必要不充分2.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=a,AA1=2,四面体ACB1D1的体积为6,则a=________.解析:如图,VACB1D1=VABCDA1B1C1D1-VAA1B1D1-V

2、B1ABC-VD1ADC-VCB1C1D1=2a2-a2=a2=6,所以a=3.答案:33.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个命题:①若a⊥b,a⊥α,则b∥α;②若a⊥β,α⊥β,则a∥α;③若a∥α,a⊥β,则α⊥β;④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.其中正确命题的序号是________.解析:①中b可能在平面α内;②中a可能在平面α内;③中因为a∥α,a⊥β,所以α内必存在一条直线b与a平行,从而得到b⊥β,所以α⊥β,故③正确;因为a⊥b,a⊥α,所以b∥α或b⊂α,故α内必有一条直线c与b平行,又b⊥β,所以c⊥β,故α⊥β,所以④正确.答案:③④4.如

3、图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1⊥平面AB1C1,AA1=1,底面△ABC是边长为2的正三角形,则此三棱柱的体积为________.解析:因为AA1⊥平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以AA1⊥AB1,又知AA1=1,A1B1=2,所以AB1==,同理可得AC1=,又知在△AB1C1中,B1C1=2,所以△AB1C1的边B1C1上的高为h==,其面积S=×2×=,于是三棱锥AA1B1C1的体积VAA1B1C1=VA1AB1C1=×S△AB1C1×AA1=,进而可得此三棱柱ABCA1B1C1的体积V=3VAA1B1C1=3×=.答案:B组——方法技巧练1.设P,A,B,C是球

4、O表面上的四个点,PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=1,PC=2,则球O的表面积是________.解析:设球O的半径为R.由PA,PB,PC两两垂直,所以外接球的直径是以PA,PB,PC为棱的长方体的体对角线,即4R2=PA2+PB2+PC2=1+1+4=6,故S球表面积=4πR2=6π.答案:6π2.在空间中,用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列四个命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c; ②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;③若a∥γ,b∥γ,则a∥b; ④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.其中真命题的序号为________.解析:根据公理知平行于同一条直线的两条直线互相平行,①正

5、确;根据线面垂直性质定理知“同垂直一个平面的两条直线平行”,知④正确;②③均不恒成立.故选①④.答案:①④3.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,若各条棱长均为2,且M为A1C1的中点,则三棱锥MAB1C的体积是________.解析:法一:在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,从而AA1⊥B1M.又因为B1M是正三角形A1B1C1的中线,所以B1M⊥A1C1,所以B1M⊥平面ACC1A1,则VMAB1C=VB1ACM=×B1M=××2×2×=.法二:VMAB1C=VABCA1B1C1-VAA1B1M-VCC1B1M-VB1ABC=×2××2-2×-××2=.答案:4.如

6、图,平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=1,AD=2,∠ADC=60°,AF=.(1)求证:AC⊥BF;(2)求多面体ABCDEF的体积.解:(1)证明:∵AB=1,AD=2,∠ADC=60°,由余弦定理:AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos60°=1+4-2×1×2×=3,于是AD2=CD2+AC2,∴∠ACD=90°,∵AB∥CD,∴AC⊥AB.又∵四边形ACEF是矩形,∴FA⊥AC,又AF∩AB=A,∴AC⊥平面AFB,又BF⊂平面AFB,∴AC⊥BF.(2)令多面体ABCDEF的体积为V,V=VDACEF+VBACEF=2VDACEF,又∵平面ABCD⊥平

7、面ACEF,DC⊥AC,根据两平面垂直的性质定理:DC⊥平面ACEF,∴DC为四棱锥DACEF的高,S矩形ACEF=×=,∴VDACEF=××1=,∴V=2VDACEF=,即多面体ABCDEF的体积为.5.如图,四边形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面BCE,BE⊥EC.(1)求证:平面AEC⊥平面ABE;(2)点F在BE上,若DE∥平面ACF,求的值.解:(1)证明:因为四边形ABCD为矩形,所

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