江苏省2019届高考数学专题四数列4.4专题提能—“数列”专题提能课讲义

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1、第四讲专题提能——“数列”专题提能课　失误1因忽视对n＝1的检验而失误　　[例1]　已知数列{an}的前n项之和为Sn＝n2＋n＋1，则数列{an}的通项公式为________．[解析]　当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，∴an＝[答案]　an＝[点评]　在对数列的概念的理解上，仅注意了an＝Sn－Sn－1，导致出现错误答案an＝2n.已知Sn求an时，要注意进行分类讨论，能合则合，反之则分．失误2因不会设项而解题受阻　　[例2]　已知一个等比数列{an}的前4项之积为，第2,3项的和为，则数列{an}的公比q＝______

2、__.[解析]　设数列{an}的前4项分别为a，aq，aq2，aq3，则可得所以(1＋q)4＝64q2，当q>0时，可得q2－6q＋1＝0，解得q＝3±2，当q<0时，可得q2＋10q＋1＝0，解得q＝－5±2.综上，q＝3±2或q＝－5±2.[答案]　3±2或－5±2[点评]　一般地，在乘积已知的条件下，三个数成等比数列时，可将此三个数分别设为，a，aq；四个数成等比数列时，可将此四个数分别设为a，aq，aq2，aq3，不要设为，，aq，aq3.公比为负数的等比数列中，所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号相同.失误3因忽视公比q的讨论而失分　　[例3]　

3、设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.[解]　若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，但a1≠0，即得S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，故q≠1.又依题意S3＋S6＝2S9⇒＋＝2·⇒q3(2q6－q3－1)＝0，即(2q3＋1)(q3－1)＝0，因为q≠1，所以q3－1≠0，所以2q3＋1＝0.解得q＝－.[点评]　在等比数列中，a1≠0是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比q＝1的情况，再在q≠1的情况下，对式子进行整理变形．　策略1构造辅助数列法：妙求数列的通项公式　　[例1]　已知

4、数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．[解析]　因为an＋1＝(n∈N*)，所以＝＋1，设＋t＝3，所以3t－t＝1，解得t＝，所以＋＝3，又＋＝1＋＝，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以＋＝×3n－1＝，所以＝，所以an＝.[答案]　an＝[点评]　本题条件中的递推公式取倒数后化为形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)的递推公式，再用待定系数法把此递推公式转化为an＋1＋t＝p(an＋t)，其中t＝，再转化为等比数列求解.策略2赋值法：巧解数列中的方程问题　　[例

5、2]　已知数列{an}的前三项分别为a1＝5，a2＝6，a3＝8，且数列{an}前n项和Sn满足Sn＋m＝(S2n＋S2m)－(n－m)2，其中m，n为任意正整数．求数列{an}的通项公式an.[解]　令n＝1，m＝2，得S3＝(S2＋S4)－1，∵S2＝11，S3＝19，∴S4＝29，a4＝10.令m＝1，得Sn＋1＝(S2n＋S2)－(n－1)2，令m＝2，得Sn＋2＝(S2n＋S4)－(n－2)2，∴an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝2n－3＋＝2n＋6＝2(n＋2)＋2，∴an＝2n＋2(n≥3)．又a2＝6符合，a1＝5不符合，∴an＝[点评]　含有两

6、个变量的方程常常让人束手无策，而实际上，如果让一个变量“定下来”，即对其中一个变量赋“常量”，就可以让问题转化为一个变量，从而找到突破口，得到所需的递推关系，顺利求解．　1．函数与方程思想——解决数列基本量的求解问题[例1]　设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的正整数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，求{an}的通项公式．[解]　由题意可知＝，整理得Sn＝(an＋2)2，当n＝1时，S1＝(a1＋2)2＝a1，解得a1＝2.又an＋1＝Sn＋1－Sn，∴an＋1＝(an＋1＋2)2－(an＋2)2，整理得：(an＋1＋an

7、)(an＋1－an－4)＝0.又∵an>0，∴an＋1－an－4＝0，∴an＋1－an＝4，即{an}是首项为2，公差为4的等差数列，∴an＝4n－2.[点评]　本例利用了方程的消元思想，通过an＋1＝Sn＋1－Sn，Sn＝(an＋2)2消去Sn，找到数列中相邻两项的递推关系，使问题得到解决．值得注意的是有时可借助an＋1＝Sn＋1－Sn消去an，利用Sn＋1，Sn的递推关系解题．2．分类讨论思想——解决数列前n项和的问题[例2]　设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2，…)．(1)求q的取值范围；(2)设bn＝an＋2－an＋1，记{b

8、n}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．[解]