江苏省2019届高考数学专题二立体几何2.3专题提能—“立体几何”专题提能课讲义

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1、第三讲专题提能——“立体几何”专题提能课　失误1因不会构造适当的几何体而解题受阻　　[例1]　已知三棱锥SABC的四个顶点S，A，B，C都是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝BC＝1，则球O的体积等于________．[解析]　如图，可把该三棱锥补成正方体，正方体的体对角线即为外接球的直径，所以半径为，所以体积为π×3＝π.[答案]　π[点评]　学生对于本题往往不知道球心的位置而导致不会解答．把该三棱锥补成正方体来确定球心的位置是求解本题的关键之处，正方体的体对角线就是外接球直径.失误2因不会利用侧面展开图而解题

2、受阻　　[例2]　如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4cm，AD＝2cm，AA1＝3cm，则在长方体表面上连结A，C1两点的所有曲线长度最小值为________cm.[解析]　将长方体的面分别展开平铺，当四边形AA1D1D和四边形DD1C1C在同一平面内时，最小距离为四边形AA1C1C的对角线，长度是＝；当四边形AA1D1D和四边形A1B1C1D1在同一平面内时，最小距离为四边形AB1C1D的对角线，长度是＝；四边形ABCD和四边形CDD1C1在同一平面内时，最小距离为四边形ABC1D1的对角线，长度是＝，所以最小距离

3、是cm.[答案]　[点评]　该题考查的是几何体的表面距离的最值问题，结合平面内连结两点的直线段是最短的，所以将长方体的侧面沿着不同的方向展开，使得两个点落在同一平面内，利用勾股定理来求解，选出最小的那个，容易出错的地方在于考虑不全面，沿着一个方向展开求得结果，从而出现错误，所以一定要注意应该有三条路径.失误3因定理表述不严谨而导致丢分　　[例3]　如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.[证明]　∵BD∥B1D1，BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1.∴BD∥平面AB1D1，同理BC1∥平

4、面AB1D1.又∵BD∩BC1＝B，BD⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，∴平面BC1D∥平面AB1D1.[点评]　在证明面面平行时，有的同学喜欢跳步，直接由线线平行得到面面平行，少了由线线平行到线面平行的过程，在考试中是要被扣分的．立体几何逻辑性非常强，证明时要严格按照定理的要求来进行书写，切不可漏条件．　策略1割补法：求不规则几何体的体积[例1]　如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．[解析]　法一：如图所示，

5、分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.连结DG，CH，容易求得EG＝HF＝.所以AG＝GD＝BH＝HC＝，S△AGD＝S△BHC＝××1＝，V＝VEADG＋VFBHC＋VAGDBHC＝×2＋×1＝.法二：如图所示，将该多面体补成一个斜三棱柱ADEMNF，点F到平面AMND的距离为，则V＝VADEMNF－VFMNCB＝×1××2－×1×1×＝.[答案]　[点评]　本题中所用的两种方法实际上就是求不规则几何体体积的两种基本方法．法一是对不规则几何体进行分割．法二则是在原不规则几何体的基础上补上一个几何体，使之成为规则几何体.

6、策略2等积法：求三棱锥的体积　　[例2]　如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为________．[解析]　三棱锥PABA1的体积为V三棱锥PABA1＝V三棱锥CABA1＝V三棱锥A1ABC＝S△ABC·AA1＝××32×3＝.[答案]　[点评]　等积法包括等面积法和等体积法．利用等积法的前提是平面图形(或立体图形)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以求解几何图形的高，特别是在求三角形的高(点到线的距离)或三棱锥的高(点到面的距离)时，通常采用此法解决问题

7、．　1．函数与方程思想——解决立体几何中的最值问题[例1]　如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．[解析]　法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当△ABC的边长变化时，设△ABC的边长为a(a>0)cm，则

8、△ABC的面积为a2，△DBC的高为5－a，则正三棱锥的高为＝，∴25－a>0，∴0