江苏省2019高考数学二轮复习 专题二 立体几何 2.3 专题提能—“立体几何”专题提能课讲义（含解析）

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1、第三讲专题提能——“立体几何”专题提能课　失误1因不会构造适当的几何体而解题受阻　　[例1]　已知三棱锥SABC的四个顶点S，A，B，C都是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝BC＝1，则球O的体积等于________．[解析]　如图，可把该三棱锥补成正方体，正方体的体对角线即为外接球的直径，所以半径为，所以体积为π×3＝π.[答案]　π[点评]　学生对于本题往往不知道球心的位置而导致不会解答．把该三棱锥补成正方体来确定球心的位置是求解本题的关键之处，正方体的体对角线就是外接球直径.失误2因不

2、会利用侧面展开图而解题受阻　　[例2]　如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4cm，AD＝2cm，AA1＝3cm，则在长方体表面上连结A，C1两点的所有曲线长度最小值为________cm.[解析]　将长方体的面分别展开平铺，当四边形AA1D1D和四边形DD1C1C在同一平面内时，最小距离为四边形AA1C1C的对角线，长度是＝；当四边形AA1D1D和四边形A1B1C1D1在同一平面内时，最小距离为四边形AB1C1D的对角线，长度是＝；四边形ABCD和四边形CDD1C1在同一平面内时，最小距离为四边形

3、ABC1D1的对角线，长度是＝，所以最小距离是cm.[答案]　[点评]　该题考查的是几何体的表面距离的最值问题，结合平面内连结两点的直线段是最短的，所以将长方体的侧面沿着不同的方向展开，使得两个点落在同一平面内，利用勾股定理来求解，选出最小的那个，容易出错的地方在于考虑不全面，沿着一个方向展开求得结果，从而出现错误，所以一定要注意应该有三条路径.失误3因定理表述不严谨而导致丢分　　[例3]　如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.[证明]　∵BD∥B1D1，BD⊄平面AB1D1

4、，B1D1⊂平面AB1D1.∴BD∥平面AB1D1，同理BC1∥平面AB1D1.又∵BD∩BC1＝B，BD⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，∴平面BC1D∥平面AB1D1.[点评]　在证明面面平行时，有的同学喜欢跳步，直接由线线平行得到面面平行，少了由线线平行到线面平行的过程，在考试中是要被扣分的．立体几何逻辑性非常强，证明时要严格按照定理的要求来进行书写，切不可漏条件．　策略1割补法：求不规则几何体的体积[例1]　如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角

5、形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．[解析]　法一：如图所示，分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.连结DG，CH，容易求得EG＝HF＝.所以AG＝GD＝BH＝HC＝，S△AGD＝S△BHC＝××1＝，V＝VEADG＋VFBHC＋VAGDBHC＝×2＋×1＝.法二：如图所示，将该多面体补成一个斜三棱柱ADEMNF，点F到平面AMND的距离为，则V＝VADEMNF－VFMNCB＝×1××2－×1×1×＝.[答案]　[点评]　本题中所用的两种方法实际上就是求不规则几何体体积的两

6、种基本方法．法一是对不规则几何体进行分割．法二则是在原不规则几何体的基础上补上一个几何体，使之成为规则几何体.策略2等积法：求三棱锥的体积　　[例2]　如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为________．[解析]　三棱锥PABA1的体积为V三棱锥PABA1＝V三棱锥CABA1＝V三棱锥A1ABC＝S△ABC·AA1＝××32×3＝.[答案]　[点评]　等积法包括等面积法和等体积法．利用等积法的前提是平面图形(或立体图形)的面积(或体积)通过已知条

7、件可以得到，利用等积法可以求解几何图形的高，特别是在求三角形的高(点到线的距离)或三棱锥的高(点到面的距离)时，通常采用此法解决问题．　1．函数与方程思想——解决立体几何中的最值问题[例1]　如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：

8、cm3)的最大值为________．[解析]　法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当△ABC的边长变化时，设△ABC的边长为a(a>0)cm，则△ABC的面积为a2，△DBC的高为5－a，则正三棱锥的高为＝，∴25－a>0，∴0