江苏省2019高考数学二轮复习 专题一 三角 1.5 专题提能—“三角”专题提能课讲义（含解析）

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1、第五讲专题提能——“三角”专题提能课　失误1因忽视向量夹角范围而失误　　[例1]　已知向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________．[解析]　因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以所以即设a，b的夹角为α，则cosα＝＝，因为α∈[0，π]，所以α＝，即a，b的夹角为.[答案]　[点评]　求解此类问题的关键是：根据向量的数量积定义，得到cos〈a，b〉＝.求解时，要注意两向量夹角的取值范围为[0，π]．失误2因不会变角求值而解题受阻　　[例2]　(2018·西安六校联考)

2、设α为锐角，若cos＝－，则sin的值为________．[解析]　因为α为锐角，所以<α＋<，又cos＝－，所以sin＝，所以sin＝2sincos＝－，cos＝2cos2－1＝－，所以sin＝sin＝sincos－cossin＝－×－×＝.[答案]　[点评]　(1)破解此类题的关键是应用角的变换法，观察所给的角的特点与要求的三角函数中的角的特点来进行角的变换．如本题中，先把2α＋转化为2α＋－，再转化为.(2)解此类题时需要特别注意的地方是在利用同角三角函数的基本关系式时，一定要注意角的取值范围．如本题中由α为锐角，可知

3、α＋的范围，这样可以避免错解.失误3因忽视对三角形解的个数讨论而失分　　[例3]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2bsinA，c＝b.(1)求B的值；(2)若△ABC的面积为2，求a，b的值．[解]　(1)在△ABC中，已知a＝2bsinA，根据正弦定理，得sinA＝2sinBsinA，因为sinA≠0，所以sinB＝，所以B＝或B＝.又因为c>b，所以C>B，所以B＝.(2)由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos，又c＝b，化简得2b2－3ab＋a2＝0，解得a＝b或a＝2b.①因为S△

4、ABC＝acsin＝2，所以ac＝8.即ab＝8.②联立①②，解得或[点评]　(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断．　策略1特取法：快解三角、向量的基本问题　　[例1]　设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为________．[解析]　由已知条件可知向量a，b是互相垂直的单位向量，故构造a＝(1,0)，b＝(0,1)．又c是单位向量，故设c＝(cosα，

5、sinα)，∴(a－c)·(b－c)＝(1－cosα，－sinα)·(－cosα，1－sinα)＝－cosα＋cos2α－sinα＋sin2α＝1－sinα＋，当α＋＝，即α＝时，(a－c)·(b－c)取得最小值，为1－.[答案]　1－[点评]　本例已知条件中涉及单位向量，我们可以通过构造特殊的向量(cosα，sinα)，将向量数量积的最值问题转化为三角函数的最值问题，从而使得问题简化.策略2换元法：求解三角函数值域问题　　换元法又称变量替换法，是我们解题常用方法之一．对结构较复杂的式子，可把其中某些部分看成一个整体，用新字

6、母代替(即换元)，可以化繁为简，化难为易．本专题常用换元法解决最值问题．[例2]　设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值．[解]　设sinx＋cosx＝t，则t∈[－，]，由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinx·cosx，得sinx·cosx＝，所以f(x)＝g(t)＝2at－－2a2＝－(t－2a)2＋(a>0)，t∈[－，]．当t＝－时，g(t)取最小值－2a2－2a－；若2a≥，当t＝时，g(t)取最大值－2a2＋2a－；若0<2a<，当t＝2a时，g(t)取最

7、大值.所以f(x)的最小值为－2a2－2a－，最大值为[点评]　此题利用局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题．换元过程中一定要注意参数的范围(t∈[－，])与sinx＋cosx的范围对应，否则将会出错．　1．数形结合思想——解决与三角函数有关的方程根的问题[例1]　(2018·深圳调研)已知关于x的方程sinx＋cosx＝m在[0，π]有两个不等的实根，则m的取值范围是________．[解析]　sinx＋cosx

8、＝m在[0，π]有两个不等的实根，则sinx＋＝m，在同一坐标系中分别作出y＝sin，x∈[0，π]和y＝m的图象如图所示．由图象可得，若关于x的方程sinx＋cosx＝m在[0，π]有两个不等的实根，则m的取值范围为[1，)．[答案]　[1，)[点评]　本例将方程根的个数转化为直线y＝m