江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.4专题提能—“解析几何”专题提能课达标训练

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1、“解析几何”专题提能课A组——易错清零练1．过点P(2，－1)且倾斜角的正弦值为的直线方程为________________________．解析：设所求直线的倾斜角为α，则由题设知sinα＝，因为0≤α<π，所以cosα＝±＝±，所以tanα＝＝±，则所求直线方程为y＋1＝±(x－2)，即5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝0.答案：5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝02．若椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是________．解析：因为短轴长为2，即b＝1，所以a＝2，则椭圆的中心到其准线的距离是.答案：3．设双曲线的渐近线为y＝±x，则其离心

2、率为________．解析：由题意可得＝或＝，从而e＝＝＝或.答案：或4．若关于x的方程＝a(x－1)＋1有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是________．解析：作出函数y＝的图象，它是单位圆的上半部分，作出直线y＝a(x－1)＋1，它是过点A(1,1)的直线，由图象可知，实数a的取值范围是.答案：B组——方法技巧练1．已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若

3、AB

4、＝2，则

5、CD

6、＝________.解析：由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.由

7、AB

8、＝2得2

9、＋()2＝12，解得m＝－.又直线l的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得

10、CD

11、＝＝2×＝4.答案：42.如图，设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若

12、AF1

13、＝3

14、F1B

15、，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．解析：设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由

16、AF1

17、＝3

18、F1B

19、，可得＝3，故即代入椭圆方程可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.答案：x2＋y2＝13

20、．椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：法一：设椭圆的另一个焦点F1(－c,0)，如图，连结QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M，又题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ，O为线段F1F的中点，∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，F1Q＝2OM.在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，OF＝c.解得OM＝，MF＝，故QF＝2MF＝，QF1＝2OM＝.由椭圆的定义QF＋QF1＝＋＝2a，整理得b＝c，∴a＝＝c，故e＝.法二：设Q(x0，y0)，则FQ的中点坐标为，kFQ＝.依题意得解得又因为(x0，y0)在椭圆上

21、，所以＋＝1.令e＝，则4e6＋e2＝1，故离心率e＝.答案：4．若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为________.解析：由题意，设点M的横坐标为x，根据焦半径公式得，a＋ex＝2，x＝，有－a≤≤a，不等式各边同除以a，得－1≤≤1，则－1≤e＋2，即e2＋3e－2≥0，又0

22、n2θ＋3×＝2＋sin2θ－cos2θ＝2＋sin，则当2θ－＝2kπ＋，即θ＝kπ＋(k∈Z)时，x2＋2xy＋3y2取得最大值，为2＋；当2θ－＝2kπ－，即θ＝kπ－(k∈Z)时，x2＋2xy＋3y2取得最小值，为2－.6.设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为，求该椭圆的标准方程．解：设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.由＝2，得

23、DF1

24、＝＝c.从而S△DF1F2＝

25、DF1

26、·

27、F1F2

28、＝c2＝，故c＝1.从而

29、DF1

30、＝.由DF1⊥F1F2，得

31、DF2

32、2＝

33、DF1

34、2＋

35、F1

36、F2

37、2＝，因此

38、DF2

39、＝，所以2a＝

40、DF1

41、＋

42、DF2

43、＝2，故a＝，b2＝a2－c2＝1.所以所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.C组——创新应用练1．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则

44、PA

45、·

46、PB

47、的最大值是________．解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)．当P与A和B均不重合时，不难验证PA⊥PB，所以

48、PA

49、2＋

50、PB

51、2＝

52、AB

53、2