完全平方数下

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1、4中等数学●数学活动课程讲座●完全平方数(下)冯跃峰(广东省深圳市高级中学,518040)(本讲适合初中)综上所述,nmax=972.例10证明:任意连续5个正整数的积4利用完全平方数序列的间距特征不是完全平方数.完全平方数序列的间距具有如下特征:证明:设5个连续正整数为a-2、a-1、22≥(1)m-n3(02).则22(2)m与(m+1)之间不存在完全平方N=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)222242数,即:若m

2、7500n例9求最大的正整数n,使4+4+4个奇质因数p,如果p

3、(a-2),则是完全平方数.p

4、[a-(a-2)]=2,解:当n>27时,与p是奇质数矛盾.27500n27473n-27A=4+4+4=4(1+4+4).于是,p不整除a-2.27因为4是完全平方数,要使A为完全平同理,p不整除a+2.473n-27方数,则1+4+4是完全平方数.类似地,p不整除a±1.42注意到因此,p与a-5a+4互质.473n-272×473n-2721+4+4=1+2+(2)因为p是完全平方数N的因数,p在N2×473-1n-272=1+2×2+(2),中的指数为偶数,所以,p在a中的指数为故当n-2

5、7=2×473-1,即n=972时,偶数.473n-271+4+4这表明,除2以外,a的质因数p在a中2×473-12×473-1222=1+2×2+(2)的指数都为偶数,故a=2m或a=m.2×473-122=(1+2)如果a=m,则a为完全平方数.42是平方数.此时,A是完全平方数.又N=a(a-5a+4)为完全平方数,42从而,n=972符合条件.则a-5a+4为完全平方数.这与224222若n>972,则2×473-1

6、)a(a+1)(a+2)n-27n-272n-272222<1+2×2+(2)=(1+2).=(2m-2)(2m-1)2m·473n-2722又1+4+4(2m+1)(2m+2)2×473-1n-272n-272222=1+2×2+(2)>(2),=(2m)2(m-1)(m+1)·n-272473n-27n-27222则(2)<1+4+4<(1+2).(2m-1)(2m+1).473n-272故1+4+4不是完全平方数,矛盾.因为N、(2m)都是完全平方数,所以,2222因此,n≤972.N′=2(m-1)(m+1)(2m-1)(2m+1)是完全平方数.从而,收稿日期:2008-05-3020

7、08年第11期52222(m-1)(m+1)(2m-1)(2m+1)完全平方数.n为偶数.10-1证明:因为11⋯1=,而229但(2m-1)(2m+1)是奇数,所以,n个22(m-1)(m+1)是偶数.从而,m是奇数,即12345678987654321m≡1(mod2).是下列各数的和:11111111111111111如果m≡0(mod3),则22221111111111111110N′=2(m-1)(m+1)(2m-1)(2m+1)111111111111100≡2×(-1)×1×(-1)×1≡2(mod3),11111111111000与N′是完全平方数矛盾.111111111000

8、0所以,m≡1,2(mod3).111111100000由m≡1(mod2),得m≡1,3,5(mod6).11111000000由m≡1,2(mod3),得m≡1,2,4,5(mod6).1110000000所以,m≡1,5(mod6).100000000令m=6t±1.则所以,12345678987654321m2=36t2±12t+1=12k+1.17151310-110-1210-12222=+10×+10×+故N′=2(m-1)(m+1)(2m-1)(2m+1)9991=2×12k(12k+2)(24k+1)(24k+3)810-1⋯+10×9=144k(6k+1)(24k+1)(8

9、k+1).所以,k(6k+1)(24k+1)(8k+1)为完=1[(1017-1)+(1016-10)+(1015-102)+9全平方数.98⋯+(10-10)]但k、6k+1、24k+1、8k+1两两互质,11716159因此,k、6k+1、24k+1、8k+1都是完全平=[(10+10+10+⋯+10)-9方数.28(1+10+10+⋯+10)]因为6k+1、24k+1是完全平方数,19876