函数arcsinx的幂级数的收敛性讨论

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1、第31卷第1期大学数学Vo1．3l，№．12015年2月COLLEGEMATHEMATICSFeb．2015函数arcsinx的幂级数的收敛性讨论王利梅，彭一鸣，王昊(对外经济贸易大学，北京100029)[摘要]用拉贝判别法，沃利斯公式，以及初等方法三种不同的方法，讨论了函数arcsinx的麦克劳林展开式在收敛端点的收敛性，即一个特殊数项级数的收敛性，并根据幂级数的连续性得到数项级数的和．[关键词]幂级数收敛性；拉贝判别法；沃利斯公式[中图分类号]O173[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2015)01—0056—03

2、1引言函数的麦克劳林级数收敛区间的讨论是数学分析中一类非常常见的问题．本文主要讨论函数arcsinx的情形．由于arcsinz一』：且已知函数苦的麦克劳林级数z+1。+z++⋯收敛半径R一1，所以arcsinx的麦克劳林级数z+十￡+十L+十：兰：+十⋯一(2n一2)!12n一1的收敛半径为R一1，但此级数在收敛区间(一1，1)端点一±1处的敛散性并不能由已知结论推出．由于arcsinx为奇函数，所以可以只讨论右端点z一1这种情况，即讨论正项级数(2n一3)!11(2n一2)!12一1的敛散性．利用三种不同的方法证明了以下结论：定理

3、1正项级数薹亍收敛．由前面的定理可立即得到下面的结论：推论1arcsinx—一z+十1x3+十{譬+十而{薯等了+十⋯一刍=TT二，’z∈[-1,1．特殊地，有(2n一3)!17r(2n一2)!!(2n一1)2‘[收稿日期]2o14一o5—15[基金项目]数学天元基金(11326o8o)第1期王利梅，等：函数arcsinx的幂级数的收敛性讨论572预备知识引理1(拉贝判别法的极限形式)嘲设∑n为正项级数，且极限1一)一r存在，则n=l(i)当r>1时，级数∑收敛；(ii)当r<1时，级数∑发散．引理2(沃利斯(Wallis)公式)2

4、一=[L(2，2一1)!!]-J2n+1．。引理3E。若幂级数∑az”在收敛区间的左(右)端点上收敛，则其和函数在这一端点右(左)n一1连续．3定理的证明为了证明的方便，设方法1(拉贝判别法)因为(一)一(一)=jim⋯6nz-n=3>，所以由拉贝判别法正项级数∑口一∑1=1收敛．方法2(沃利斯(Wallis)公式)由沃利斯(Wallis)公式r(2)I1]01．一l丽J丽’可得7r一o。[L厶jr／／：：n．从而对任意的e>0，存在N>0，对于任意的>N，成立I[，z一21e，所以当>N时，有[n<即有(2n)!12+1<、√丌+

5、。e(2-+-1)／可·’由￡的任意性，不妨令e===1，此时存在N>0，对于任意的>N，成立1(2n)!!2n+1<、√^√丌+’从而有58大学数学第31卷(2n一3)!!(2n一2)!12又由数项级数的积分判别法，易得收敛，所以由维尔斯特拉斯判别法知数收敛．方法3(初等方法)当>1时，有(2n一3)!!(2n一2)!!(2n一2)!!、(2n一1)!!’从而得(2n一3)!11，，1(2n一2)!12n一1、(2一1)、。用与方法2中相同的论断知数项级数薹三暑收敛．定理证毕．由引理3以及定理1可得推论1．[参考文献]1-13华东

6、师范大学数学系，数学分析(上册)EM3．4版．北京：高等教育出版社，2010：231．[2]华东师范大学数学系，数学分析(下册)[M]．4版．北京：高等教育出版社，2010：16，52TheConvergenceofthePowerSeriesofarcsinxWANGLi—Mei，PENGY—ruing，WANGHao(UniversityofInternationalBusinessandEconomics，Beijing100029，China)Abstract：Weusethreedifferentmethods，inclu

7、dingRaabeTest，Wallisformulaandelementaryanalysis，toobtaintheconvergentdomainofthepowerseriesofthefunctionarcsinx．Asanapplicationoftheresult，wegetthesumofaspecialconstantseries．Keywords：convergenceofpowerseries；RaabeTest；Wallisformula