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《矩阵幂级数的收敛性质和应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2010年《和田师范专科学校学报》（汉文综合版）Jul.2010第29卷第三期总第65期定理1.1若A与是任意两种矩阵范数，则总存在正数A矩阵幂级数的收敛性质和应用αβcc,12，对于任意矩阵A恒有cA≤≤AcA。12βαβ孙延彬定义1.5设x是向量范数，Aβ是矩阵范数，若对于任何矩α（平顶山学院团委河南平顶山467000）阵A与向量x都有AxAx≤，则称Aβ为与向量范数xαβαα[摘要]根据矩阵幂级数的定义和数学分析中幂级数的收敛性质，运相容的矩阵范数。用类比的推理方法，在已知知识的基础上，验证并总结了矩阵幂级数的部分相应2.矩阵序列的收敛性质的收敛性质。定义2.1设矩阵序列{A}
2、，其中A=∈()aC()kmn×，若kkij[关键词]矩阵幂级数；范数；收敛性质mn×个数列()k作为数学的一个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内容；作{aij}(im=1,2,3"",jn=1,2,3"")都收敛，便为一种基本的工具，矩阵理论在数学以及其他科学技术领域，如数称矩阵序列A收敛。若limaa(k)=，则limA==Aa()，{k}ijijkijk→∞k→∞值分析、最优化理论、概率论、运筹学、控制理论、力学、电学、信息科学与技术、管理科学与工程等学科都有着重要的应用。其中称A为矩阵序列{Ak}的极限。矩阵级数以及矩阵幂级数在建立矩阵函数和解决微分方程的许多问定理2.1矩阵
3、序列{Ak}收敛于A的充要条件是题时，也有着重要的应用。目前有很多关于矩阵、幂级数以及矩阵limAAk−=0。其中矩阵范数Ak−A为任何一种范数。幂级数的研究：曹玉平发表过《矩阵幂级数绝对收敛性的判定》，林k→∞mn金火发表过《矩阵幂级数的收敛性质》等，这篇文章从矩阵序列的证明：取矩阵范数。A=∑∑aij收敛性质来讨论矩阵级数以及矩阵幂级数的收敛性质，主要分四个ij==11部分：范数的定义和有关性质、矩阵序列的定义和收敛性质、矩阵必要性：设limAki==Aa(j)，由定义知，对于每一个i,j，幂级数的收敛性质和应用。k→∞1.范数的定义和有关性质都有limaa()k−=0ijijk
4、→∞定义1.1设V是数域F（一般为实数域R或复数域C）上(im=1,2,3"",jn=1,2,3"")。于是的线性空间，用x表示按某个法则确定的与向量x对应的实数，mn且满足：limaa()k−=0，此即limAA−=0。∑∑ijijkk→∞k→∞（1）非负性：当xx≠>0,0；当且仅当xx==0,0；ij==11mn充分性：设()k，因此，（2）齐次性：kx=kx，k为任意数；limAAki−=−lim∑∑aajij=0kk→∞→∞ij==11（3）三角不等式：对于V中任何向量x,y都有对于每一个ij,，都有limaa()k−=0，此即ijijk→∞x+≤+yxy。(k)则称实数x
5、是向量x的范数。limk→∞aaij=ij，于是limk→∞Ak=A。定义1.2设向量x=(,,,)xx"xT，对任意数p≥1，称现在已经证明了对于所设的范数时定理成立，若A是其他某12nα1一种范数，则由范数等价性定理知量⎛⎞np为向量x的p−范数。pxxp=⎜⎟∑icAAAA−≤−≤cAA−。由limAAk−=0便得⎝⎠i=112kkαkk→∞常用的范数有下述三种：limAA−=0，因此对任何一种范数定理成立。nk→∞kα（1）1-范数x=∑x；另外矩阵序列还有以下性质：1ii=1（1）一个收敛矩阵序列的极限是惟一的；1⎛⎞n221（2）设limA=A（2）2-范数x==⎜⎟xx
6、Hx2也称为欧氏范数；k，limBk=B，则：2⎜⎟∑i()k→∞k→∞⎝⎠i=1lim(aAkk+=+bB)aAbB，abC,∈；（3）∞-范数.k→∞x==limxxmax。∞p→∞pi（3）设limA=Ann×，limB=B，其中A,BC∈，则：kk定义1.3设V是n维线性空间，xα和xβ为任意两种向量k→∞k→∞limABA=B；cc,kk范数（不限于p−范数），则总存在正数12，对V中所有向量k→∞（4）设limA=Ann×x∈V，总有cx≤≤xcx，则称这两种向量范k，取PQC,∈，则：12βαβk→∞数是等价的。limPAQ=PAQ；kk→∞定义1.4对于任何一个矩阵A
7、C∈mn×，用A表示按照某个法（5）设limA=A，A，A均可逆，则：kk则确定的与矩阵A对应的实数，且满足：k→∞（1）非负性：当A≠0时，A>0；当且仅当A=0时，A=0；−1也收敛，且limA−11=A−。{Ak}kk→∞（2）齐次性：kA=kA，k为任意复数；定义2.2设nn×AC∈，A的n个特征值为λ,,,λλ"，12n（3）三角不等式：对于任意两个同类型矩阵AB,都有称ρA=maxλλ,,",λ(){12n}是A的谱半径。A+≤+BAB；nn×
