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《曲面上法曲率的最值和最值切方向的性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第34卷第1期吉首大学学报(自然科学版)Vol.34No.12013年1月JournalofJishouUniversity(NaturalScienceEdition)Jan.2013文章编号:10072985(2013)01000605∗曲面上法曲率的最值和最值切方向的性质邢家省,王拥军(北京航空航天大学数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191)摘要:考虑曲面上法曲率最值和最值切方向的直接求法问题,给出了直接的导出方法,得到最值和最值切向量的特征值、特征向量的性质和2最值切向量的正交共轭性质.关键词:法曲率的最值;最值切方
2、向;特征值;特征向量;共轭正交方向;法曲率的欧拉公式中图分类号:O186.11文献标志码:ADOI:10.3969/j.issn.10072985.2013.01.002[1]对曲面上法曲率最值的研究,一般是通过曲面上的正交和共扼的2切方向或考察Weingarten变换[23]的特征值和特征向量,再运用法曲率的欧拉公式证明法曲率的最大值和最小值的存在性及求法,进而[13]引入高斯曲率和平均曲率及其计算公式.在文献[48]相关内容的基础上,笔者对法曲率的最值和最值切向量问题给出直接的求法,并由此出发给出2最值切向量的正交性和共轭性,给出最值和最值切向量的特征
3、值、特征向量的性质.1法曲率的最值和最值方向的直接求法[13]在曲面Σ:r=r(u,v)上一点P处,沿切方向(d)=du:dv上的法曲率kn为22ⅡL(du)+2Mdudv+N(dv)kn=kn(du,dv)==22.(1)ⅠE(du)+2Fdudv+G(dv)设n是曲面Σ在P点的法向量,采用文献[16]中的常用记号.考虑法曲率kn的最大值、最小值的直接求法问题.du令λ=,则有dv2Lλ+2Mλ+Nkn=kn(λ)=,(2)2Eλ+2Fλ+G这样一来,关于法曲率的最值问题转化为求二次分式的最值问题.将(2)式化为一元二次方程Lλ222+2Mλ+N-kn(
4、Eλ+2Fλ+G)=0,即(L-knE)λ+2(M-knF)λ+N-knG=0,它关于λ的一元二次方程有实根,当且仅当(M-k)22)k2(LG-2MF+NE)k(LN-M2)≥0.(3)nF-(L-knE)(N-knG)=-(EG-Fn+n-设k1,k2(k1≤k2)是一元二次方程(M-k)22)k2(LG-2MF+NE)k(LN-M2)=0(4)nF-(L-knE)(N-knG)=-(EG-Fn+n-∗收稿日期:20120921基金项目:国家自然科学基金资助项目(11171013)作者简介:邢家省(1964),男,河南泌阳人,北京航空航天大学数学与系统
5、科学学院副教授,博士,主要从事偏微分方程、微分几何研究.第1期邢家省,等:曲面上法曲率的最值和最值切方向的性质7的2个根,由二次函数的理论,则有不等式(3)的解集为k1≤kn≤k2.2Lλ+2Mλ+N将kn=k1,k2代入kn=2,解出2个根λ2,λ1,就得到使kn取到k1,k2的方向.于是法Eλ+2Fλ+G曲率kn的最大值、最小值分别为k2,k1,且k2,k1由方程(4)所解出.根据一元二次方程的韦达定理,可得到高斯曲率和平均曲率的计算公式.方程(4)式的判别式为22F22)(LN-M2)=[(NE-LG)-(ME-LF)]Δ=(LG-2MF+NE)-4
6、(EG-F+E2)4(EG-F(ME-LF)22≥0,E故当且仅当NE-LG=ME-LF=0时,判别式为0,即LMN==.(5)EFG曲面上满足(5)式的点称为脐点,否则称为非脐点.在一个非脐点处,判别式Δ>0,方程(4)总有2个不相等的实根,曲面在这一点总有2个不相等的法曲率,且分别是法曲率的最大值和最小值.在脐点,若令L=cE,M=cF,N=cG,则任意方向的法曲率k(常数),而方程(4)变为(k)2n=cn-c=0,但这个关系无非表示任意方向的法曲率相等.2法曲率最值和最值方向的直接求法及最值方向的正交和共轭性[4]利用k1,k2(k1≤k2)是方程
7、(4)的2个根,给出其为法曲率的最值的另一种直接方法.由于(M-k)2iF-(L-kiE)(N-kiG)=0i=1,2,(6)注意到(L(du)22)-k(E(du)22)=+2Mdudv+N(dv)i+2Fdudv+G(dv)(L-k)(du)22iE+2(M-kiF)dudv+(N-kiG)(dv)=2æM-kiFö(L-kiE)du+dvi=1,2,(7)èL-kiEø因此可知:若L-k1E≥0,则有kn(du,dv)≥k1,若L-k1E<0,则有kn(du,dv)≤k1;同理,若L-k2E>0,则有kn(du,dv)≥k2,若L-k2E≤0,则有k
8、n(du,dv)≤k2,而k1≤k2.从而,有k1≤kn(du,d
