第2章《圆锥曲线与方程-2.2.1 椭圆的标准方程》导学案

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1、第2章《圆锥曲线与方程-2.2.1》导学案(2)教学过程一、数学运用【例1】　求经过点(-，1)，(-，-)的椭圆的标准方程.(见学生用书P19)[处理建议]　可分两种情况分别设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程和焦点在y轴上的椭圆的标准方程，代入点坐标求出a，b的值；在不明确焦点位置的情况下，也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0，B>0，且A≠B).[规范板书]　解法一　①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)，则解得所以所求椭圆的标准方程是+=1.②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为+=1(a>

2、b>0)，则解得不满足a>b>0，故舍去.所以所求椭圆的标准方程是+=1.解法二　设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0，B>0，且A≠B)，则解得所以所求椭圆的标准方程是+=1.[题后反思]　解决此类问题最基本的方法是分类讨论.实际上解法二是对解法一中x2及y2的系数进行换元得到的.[1]【例2】　已知椭圆+=1的左、右焦点分别是F1，F2，PQ是过F1的一条弦，求△PQF2的周长.(见学生用书P20)[处理建议]　请学生思考△PQF2的周长中包含哪些线段，这些线段与椭圆定义中的几何条件有哪些联系.[规范板书]　解　由题意知a=5

3、，c=3.P，Q是椭圆上的点，则PF1+PF2=2a=10，QF1+QF2=2a=10.因此，△PQF2的周长为PQ+PF2+QF2=PF1+PF2+QF1+QF2=4a=20.[题后反思]　抓住椭圆的定义，因为定义中的几何条件就是椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2a.若PQ是椭圆上不过焦点F1的一条弦，试问:△PQF2的周长是定值吗？变式1　若P是椭圆+=1上一点，F1，F2是它的两个焦点，Q(5，2)，求△PQF2的周长l的取值范围.[处理建议]　将△PQF2的周长的最值转化为PQ+PF2的最值.[规范板书]　解　因为△PQF2的

4、周长l=PQ+PF2+QF2，又F2(3，0)，所以QF2=2，所以△PQF2的周长取最小值时PQ+PF2也取最小值，易得PQ+PF2>QF2=2，所以l>4.因为在椭圆中PF1+PF2=2a，所以PF2=2a-PF1，所以PQ+PF2=PQ+2a-PF1=PQ-PF1+2a，所以PQ+PF2取最大值时PQ-PF1也取最大值，易得PQ+PF2=PQ-PF1+2a

5、值.[规范板书]　解　设椭圆的左焦点为F1.因为在椭圆中PF1+PN=2a，所以PN=2a-PF1，所以PM+PN=PM+2a-PF1=PM-PF1+2a.又因为

6、PM-PF1

7、≤MF1，所以-MF1≤PM-PF1≤MF1，又MF1=，所以-≤PM-PF1≤，所以10-≤PM+PN≤10+，所以PM+PN的最大值为10+，最小值为10-.[题后反思]　进一步理解椭圆定义中的几何条件是焦半径的一种重要的转化方式，同时也是对此知识点的巩固训练.[2]　(例3)【例3】　如图，P是椭圆+=1上一点，F1和F2是其焦点，且∠F1PF2=30°

8、，求△F1PF2的面积.(见学生用书P20)[处理建议]　请学生思考:椭圆定义中能用到的几何条件有哪些？△F1PF2的面积又该如何表示才能与已知条件联系起来？[规范板书]　解　在椭圆+=1中，a=，b=2，所以c==1.又因为点P在椭圆上，所以PF1+PF2=2a=2.①由余弦定理知P+P-2PF1·PF2·cos30°=F1=(2c)2=4.②①式两边平方得P+P+2PF1·PF2=20.　③③-②得(2+)PF1·PF2=16，所以PF1·PF2=16(2-)，所以=PF1·PF2sin30°=8-4.变式　如图，已知椭圆E:+=

9、1(a>b>0)的焦点为F1与F2，点P在椭圆上，∠F1PF2=θ.求证:△PF1F2的面积S=b2tan.(变式)[处理建议]　由特殊到一般，问题的处理方式基本相同.[规范板书]　证明　设PF1=r1，PF2=r2，则S=r1r2sinθ，又F1F2=2c，由余弦定理有(2c)2=+-2r1r2cosθ=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cosθ=(2a)2-2r1r2(1+cosθ)，于是2r1r2(1+cosθ)=4a2-4c2=4b2，所以r1r2=.这样即有S=·sinθ=b2=b2tan.[题后反思]　解与△PF1F

10、2(P为椭圆上一点)有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合PF1+PF2=2a来解决.有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设PF1=r1，PF2=r2，则S=r1r2sinθ.若能消去r1r2，问题即可解决