导数的综合应用.DOC

《导数的综合应用.DOC》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§3.3　导数的综合应用1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.2.不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题.(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.1.设直

2、线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为________.答案　解析　MN的最小值，即函数h(x)＝x2－lnx的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.2.若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是__________.答案　(－2,2)解析　由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可.f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)·f(1)<

3、0，即(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2).3.若f(x)＝，00，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，e)上为增函数，又∵0

4、x)x(00.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0).思维启迪　(1)设公共点为(x0，y0)，则f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)可

5、得a，b的关系；(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求F(x)的最值.(1)解　设两曲线的公共点为(x0，y0)，f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，即由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a(舍去).即有b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna.令h(t)＝t2－3t2lnt(t>0)，则h′(t)＝2t(1－3lnt).于是当t(1－3lnt)>0，即00；当t(1－3lnt)<0，即t>e时，h′(t)<0.故

6、h(t)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数，于是h(t)在(0，＋∞)上的最大值为h(e)＝e，即b的最大值为e.(2)证明　设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2lnx－b(x>0)，则F′(x)＝x＋2a－＝(x>0).故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，＋∞)上为增函数.于是F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x>0时，f(x)≥g(x).思维升华　利用导数证明不等式的步骤(1)构造新函

7、数，并求其单调区间；(2)判断区间端点函数值与0的关系；(3)判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式.　当0x＋.证明　设f(x)＝tanx－，则f′(x)＝－1－x2＝tan2x－x2＝(tanx－x)(tanx＋x).因为00，即x∈时，f(x)为增函数.所以x∈时，f(x)>f(0).而f(0)＝0，所以f(x)>0，即tanx－>0.故tanx>x＋.题型二　利用导数求参数的取值范围例2　已知函数f(x)＝(a∈R)，

8、g(x)＝.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围.思维启迪　(1)解f′(x)＝0，根据函数值的变化得到单调区间、极值；(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过F(x)的单调性和函数值的变化研究f(x)、g(x)的交点情况.解　(1)函数f(x)