自动控制理论-第2章

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1、第二章系统的数学模型基本要求1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。4.掌握传递函数的概念及性质。5.掌握典型环节的传递函数形式。6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数的方法。8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。数学模型——描述系统中各变量关系的数学形式与方法。是经典控制与现代控制理论的基础。微分方程传

2、递函数结构图（方框图）信号流图频率特性状态空间描述等对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。建模方法：1.解析法（理论建模）2.实验法（系统辨识）定常系统：系统物理参数不随时间变化；集总参数系统：系统物理参数不随空间位置变化；本书研究的系统基本均为定常、集总参数系统。动态物理系统建立微分方程拉氏变换求解微分方程分析系统性能系统设计传递函数分析系统性能系统设计2.1控制系

3、统微分方程的建立列写基本步骤：分析各元件的工作原理，明确输入、输出量建立输入、输出量的动态联系消去中间变量标准化微分方程单变量线性定常系统：输出在左，输入在右，降阶排列。由②：，代入①得：这是一个线性定常二阶微分方程。①②[解]：据基尔霍夫电路定理：输入输出LRCi[例2-1-1]：写出RLC串联电路的微分方程。例2-1-1例2-1-3将微分方程标准化T称为时间常数，为阻尼比。显然，上式描述了m－K－f系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。令，即，则式可写成同一物理系统有不同形式的数学模型，

4、而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。线性方程的求解：研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。方法有经典法，拉氏变换法和数值求解。在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。[拉氏变换求微分方程解的步骤]：①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。线性方程的求解2.2拉普拉斯变换为什么要引入Laplace变换？控制系统的微分方程，是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应，这种方

5、法比较直观，尤其是借助于电子计算机，可迅速而准确地求解结果。但是，如果系统中某个参数变化或者结构形式改变，则需要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行分析与设计。用拉氏变换将线性常微分方程转化为易处理的代数方程，可以得到系统在复数域中的数学模型，称为传递函数。它不仅可以表征系统动态特性，而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论广泛应用的频率法和根轨迹法，就是在传递函数基础上建立起来的。因此，拉氏变换成为自动控制理论的数学基础。拉普拉斯法是一种解线性微分方程的简单运算方法。1、

6、微分、积分可用复数平面内的代数运算来取代。2、线性微分方程可转成复变量s的代数方程。3、微分方程的解可用拉普拉斯变换表和部分分式展开法求得。4、拉普拉斯法解微分方程时可同时获得解的瞬态分量和稳态分量。5、拉普拉斯法可用图解法预测系统的性能，无须实际求解系统的微分方程。动态物理系统建立微分方程代数方程微分方程时域解复域解时域复域Laplace变换代数运算Laplace反变换积分运算烦！易！拉普拉斯变换设函数f(t)当时有定义，而且积分在s(s=σ+jω)的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为我们

7、称上式为函数f（t）的拉普拉斯变换式，记为F(s)=L[f(t)]=即L[f(t)]=F(s)称为f(t)的拉普拉斯变换（或称为象函数）。一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：⑴t<0时，f(t)=0；⑵t≥0时，f(t)分段连续；⑶。常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换单位脉冲A=1,称为δ(t)函数,拉氏变换为1。常用函数的拉氏变换单位

8、阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：单位抛物线函数：正弦函数：其他函数可以查阅相关表格获得。数学预备知识：拉氏变换典型信号的拉氏变换（1）典型信号的拉氏变换（2）⑴线性性质：⑵微分定理：⑶积分定理：（设初值为零）⑷时滞定理：⑸初值定理：②性质：拉氏变换的性质⑹终值定理：⑺卷积定理：拉普拉斯反变换从拉普拉斯变换F(s)求时间函数f(t)的反变换过程称为拉普拉斯反变换。拉普拉斯反变换的符号是，可以通过下列反演积分，从F(s)求得拉普拉斯反变换：对t>0式中，c为实常量，