高等数学 基础班(第07-08课)

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1、第二章导数与微分第二章第二章第二章第二章导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分第二章导数与微分导学与微分的概念及公式一、导数与微分的概念1.导数概念：f(x+∆x)−f(x)f(x)−f(x)∆y000f′(x)=lim=lim=lim0∆x→0∆xx→x0x−x∆x→0∆x0f(x+∆x)−f(x)00左导数：f′(x)=lim−0−∆x→0∆xf(x+∆x)−f(x)右导数：f′(x)=lim00+0+∆x→0∆x可导⇔左右导数都存在且相等第二章导数与微分2.微分的概念：导学与微分的概念及公式若∆y=f(x0+∆x)−f(x0)=A

2、∆x+ο(∆x),则称f(x)在x0处可微。dy=A∆x3.导数与微分的几何意义:(会求切线,法线方程).4.连续,可导,可微之间的关系第二章导数与微分二、微分法导学与微分的概念及公式1.求导公式2.求导法则（1）有理运算法则；（2）复合函数求导法；（3）隐函数求导法；（4）反函数的导数；（5）参数方程求导法；（6）对数求导法；（7）高阶导数.(n−1)(n−1)(n)f(x0+∆x)−f(x0)①定义：f(x)=lim0∆x→0∆x(n−1)(n−1)f(x)−f(x)0=limx→x0x−x0第二章导数与微分（2）常用公式：导学与微分

3、的概念及公式(n)π(1)(sinx)=sin(x+n⋅);2(n)π(2)(cosx)=cos(x+n⋅);2()n()n()n(3)(uv±)=u±v;n(n)k(k)(n−k)(4)(uv)=∑∑Cnuv.k=0常考题型1.导数定义；2.复合函数、隐函数、参数方程求导；3.高阶导数；第二章导数与微分求导数的方法运用及示例【例1】已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0,则23xf(x)−2f(x)lim=（）3x→0x（A）−2f′(0).（B）−f′(0).（C）f′(0).（D）0.223xfx()−xf(0)2(−fx)2(

4、0)+f【解】解法1lim3x→0x3fx()−f(0)fx()−f(0)=lim−2lim3x→0xx→0x=f′(0)2−f′(0)第二章导数与微分求导数的方法运用及示例23xfx()2(−fx)解法2lim3x→0x=f′(0)2−f′(0)=−f′(0)解法3取fx()=x，显然符合题设条件，23xfx()2(−fx)lim3x→0x而f′(0)=1，则排除(A)、(C)、(D)，故应选(B).第二章导数与微分求导数的方法运用及示例【例2】f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是（）1（A）li

5、mh[f(a+)−f(a)]存在；h→+∞h1（B）limn[f(a+)−f(a)]存在；n→∞nf(a+h)−f(a−h)（C）lim存在；h→02hf(a)−f(a−h)（D）lim存在；h→0h第二章导数与微分求导数的方法运用及示例y=y(x)y6210【例3】已知函数由方程e+xy+x−=确定，则y′′(0)=_______.y2【解】由e+6xy+x−=10知，x=0时，y=0.yey′+6y+6xy′+2x=0令x=0,y=0得y′(0)=0.y2yey′+ey′′+12y′+6xy′′+=20将y＇(0)=0代入上式得y′′

6、(0)=−2第二章导数与微分求导数的方法运用及示例22⎧y=ln(1+t)dydy【例4】已知⎨求,.2⎩x=arctant,dxdxdy【解】dx2dy2dx第二章导数与微分求导数的方法运用及示例1【例5】设函数y=,y(n)(0)=________.2x+3−1【解】y=(2x+3)−2y′=−(1)(2x+3)⋅2−32y′′=−(1)(2)(2−x+3)2()nn−(n+1)ny=−(1)n!(2x+3)2nn()n(1)−n!2y(0)=n+13第二章导数与微分求导数的方法运用及示例22x(100)【例6】设f(x)=xe,求f

7、(0).【解】22x令u=xv,=e10099×98=22⋅2!=9900·298